Bài 62, 63, 64 trang 124 SBT Toán Đại số 10: Giải và biện luận bất phương trình sau theo tham số m: (m – 1)√x ≤ 0

Bài 62: Chứng minh rằng:

\(a + b + b \le {1 \over 2}({a^2}b + {b^2}c + {c^2}a + {1 \over a} + {1 \over b} + {1 \over c}).\)

Với a, b, c là những số dương tùy ý.

Theo bài 7 ta có:

\({a^2}b + {1 \over b} \ge 2a\), do đó

\(a \le {1 \over 2}({a^2}b + {1 \over b})\)

Tương tự: \(b \le {1 \over 2}({b^2}c + {1 \over c})\)

\(c \le {1 \over 2}({c^2}a + {1 \over a})\)

Cộng từng vế ba bất đẳng thức này ta được điều phải chứng minh.

Bài 63: Cho a, b, c là ba số thực thỏa mãn điều kiện \({a^3} > 36\) và abc = 1

Xét tam thức bậc hai \(f(x) = {x^2} – {\rm{a}}x – 3ac + {{{a^2}} \over 3}\)

a) Chứng minh rằng \(f(x) > 0,\forall x\);

b) Từ câu a) suy ra \({{{a^2}} \over 3} + {b^2} + {c^2} > ab + bc + ca.\)

a) f(x) có

\(\eqalign{
& \Delta = {a^2} – 4( – 3bc + {{{a^2}} \over 3}) = {{ – {a^2}} \over 3} + 12bc \cr
& = {{ – {a^2}} \over 3} + {{12abc} \over a} = {{ – {a^2}} \over 3} + {{12} \over a} \cr} \)

\( = {{36 – {a^3}} \over {3a}} < 0\) (do giả thiết \({a^3} > 36\))

=> \(f(x) > 0,\forall x\)

b) \({{{a^2}} \over 3} + {b^2} + {c^2} > ab + bc + ca\)

\( \Leftrightarrow {{{a^2}} \over 3} + {(b + c)^2} – 2bc > bc + a(b + c)\)

\( \Leftrightarrow {(b + c)^2} – a(b + c) – 3bc + {{{a^2}} \over 3} > 0\)

\( \Leftrightarrow f(b + c) > 0\) đúng vì \(f(x) > 0,\forall x.\)

Bài 64: Giải và biện luận bất phương trình sau theo tham số m.

\((m – 1).\sqrt x  \le 0\)

Điều kiện của bất phương trình là \(x \ge 0\)

Nếu \(m \le 1\) \(m – 1 \le 0\) , bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi \(x \ge 0\)

Nếu m > 1 thì m – 1 > 0, bất phương trình đã cho tương đương với

\(\sqrt x  \le 0 \Leftrightarrow x = 0\)

Nếu \(m \le 1\) thì tập nghiệm của bất phương trình là \({\rm{[}}0; + \infty )\)

           Nếu m > 1 thì tập nghiệm của bất phương trình là {0}