Bài 1: Cho a, b, c, d là những số dương; x, y, z là những số thực tùy ý. Chứng minh rằng:
\({x^4} + {y^4} \ge {x^3}y + x{y^3}\)
\({x^4} + {y^4} \ge {x^3}y + x{y^3} \Leftrightarrow {x^4} + {y^4} – {x^3}y – x{y^3} \ge 0\)
\( \Leftrightarrow {x^3}(x – y) + {y^3}(y – x) \ge 0 \Leftrightarrow (x – y)({x^3} – {y^3}) \ge 0\)
\( \Leftrightarrow {(x – y)^2}({x^2} + {y^2} + xy) \ge 0 \Leftrightarrow {(x – y)^2}({(x + {y \over 2})^2} + {{3{y^2}} \over 4}) \ge 0\) (đúng)
Bài 2: Cho a, b, c, d là những số dương; x, y, z là những số thực tùy ý. Chứng minh rằng:
\({x^2} + 4{y^2} + 3{z^2} + 14 > 2x + 12y + 6z\)
Advertisements (Quảng cáo)
\({x^2} + 4{y^2} + 3{z^2} + 14 > 2x + 12y + 6z\)
\( \Leftrightarrow {x^2} – 2x + 4{y^2} – 12y + 3({z^2} – 2z) + 14 > 0\)
\( \Leftrightarrow {(x – 1)^2}{(2y – 3)^2} + 3{(z – 1)^2} + 1 > 0\) (đúng)
Bài 3: Cho a, b, c, d là những số dương; x, y, z là những số thực tùy ý. Chứng minh rằng:
Advertisements (Quảng cáo)
\({a \over {\sqrt b }} + {b \over {\sqrt a }} \ge \sqrt a + \sqrt b \)
\(\eqalign{
& {a \over {\sqrt b }} + {b \over {\sqrt a }} \ge \sqrt a + \sqrt b \cr
& \Leftrightarrow {{{{(\sqrt a )}^3} + {{(\sqrt b )}^3}} \over {\sqrt a \sqrt b }} \ge \sqrt a + \sqrt b \cr} \)
\( \Leftrightarrow (\sqrt a + \sqrt b )(a + b – \sqrt {ab} ) \ge (\sqrt a + \sqrt b )\sqrt {ab} \)
\( \Leftrightarrow (\sqrt a + \sqrt b )(a + b – 2\sqrt {ab} ) \ge 0\)
\( \Leftrightarrow (\sqrt a + \sqrt b ){(\sqrt a – \sqrt b )^2} \ge 0\) (đúng)
Bài 4: Cho a, b, c, d là những số dương; x, y, z là những số thực tùy ý. Chứng minh rằng:
\({1 \over a} + {1 \over b} \ge {4 \over {a + b}}\)
Từ \({1 \over a} + {1 \over b} \ge 2\sqrt {{1 \over {ab}}} \) và \(a + b \ge 2\sqrt {ab} \) suy ra
\((a + b)({1 \over a} + {1 \over b}) \ge 4\) hay \({1 \over a} + {1 \over b} \ge {4 \over {a + b}}\)
