Bài 1.47: Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} = 9\). Viết phương trình đường tròn ảnh của đường tròn đã cho qua phép đối xứng trục \(d:x = 1\).
Chỉ cần tìm ảnh của tâm đường tròn qua trục d.
Bài 1.48: Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} = 9\). Viết phương trình đường tròn ảnh của đường tròn đã cho qua phép quay \({Q_{\left( {0; – 90^\circ } \right)}}\) với O là gốc tọa độ.
(C) có tâm \(I\left( {1;2} \right)\), bán kính R = 3. Gọi I’; R lần lượt là tâm và bán kính của đường tròn ảnh, ta có:
\( I’ = {Q_{\left( {O, – {{90}^0}} \right)}}\left( I \right) \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x’ = y = 2 \hfill \cr
y’ = – x = – 1 \hfill \cr} \right.\) và R’ = 3.
Vậy phương trình (C’) là \({\left( {x – 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 9\).
Bài 1.49: Cho tam giác ABC. Trong nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng BC không chứa điểm A, ta dựng hình vuông BCDE. Kẻ DM vuông góc với AB, EN vuông góc với AC, và kẻ đường cao AH của tam giác ABC. Chứng minh rằng ba đường thẳng AD, EN, và AH đồng quy.
Advertisements (Quảng cáo)
Nếu ta “ kéo “ tam giác ABC xuống theo phương AH sao cho B trùng E, C trùng D thì A trùng với A’. Khi đó MD, EN, AH là ba đường cao của tam giác A’ED nên chúng đồng quy.
Thực hiện phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow {BE} \) ta có
\({T_{\overrightarrow {BE} }}:A \mapsto A’\)
\(B \mapsto E\)
\(C \mapsto D\)
Khi đó, ta có: \(A’E\parallel AB,A’D\parallel AC\).
Advertisements (Quảng cáo)
Gọi \(I = DM \cap EN\)
Ta có:
\(\left\{ \matrix{
AB \bot DM \hfill \cr
AB\parallel A’E \hfill \cr} \right. \Rightarrow DM \bot A’E\)
Tương tự, ta có: \(EN \bot A’D\).
Xét ∆A’ED, vì I là giao điểm của hai đường cao nên I là trực tâm của tam giác trên.
Suy ra \(A’I \bot E{\rm{D}}\)
\( \Rightarrow AI \bot BC’\) hay \(I \in AH\)
Vậy AH, DM, EN đồng quy tại I.
Bài 1.50: Cho hai đường tròn có cùng bán kính R cắt nhau tại hai điểm M, N. Đường trung trực của MN cắt hai đường tròn tại hai điểm A, B và nằm cùng phía đối với MN. Chứng minh rằng \(M{N^2} + A{B^2} = 4{R^2}\).
\({T_{\overrightarrow {{O_2}{O_1}} }}:B \mapsto A\)
\(M \mapsto E\)
\( \Rightarrow \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {ME} = \overrightarrow {{O_2}{O_1}} \)
∆NME vuông tại M (vì \(ME\parallel AB\) và \(AB \bot MN\)), do đó NE là đường kính. Từ đó ta có:
\(\eqalign{
& N{E^2} = N{M^2} + M{E^2} \cr
& \Leftrightarrow {\left( {2{\rm{R}}} \right)^2} = M{N^2} + A{B^2} \cr
& \Leftrightarrow M{N^2} + A{B^2} = 4{{\rm{R}}^2} \cr} \)
