Bài 3.9: Chứng minh rằng phương trình
a) \({x^5} – 3x – 7 = 0\) luôn có nghiệm ;
b) \(\cos 2x = \sin x – 2\) có ít nhất hai nghiệm trong khoảng \(\left( { – {\pi \over 6};\pi } \right)\) ;
c) \(\sqrt {{x^3} + 6x + 1} – 2 = 0\) có nghiệm dương.
a) Xét \(f\left( x \right) = {x^5} – 3x – 7\) và hai số 0; 2.
b) Xét \(f\left( x \right) = \cos 2x – 2\sin x + 2\) trên các khoảng \(\left( { – {\pi \over 6};{\pi \over 2}} \right){\rm{ , }}\left( {{\pi \over 2};\pi } \right)\)
c) Ta có,
\(\eqalign{
& \sqrt {{x^3} + 6x + 1} – 2 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^3} + 6x + 1 = 4 \cr
& \Leftrightarrow {x^3} + 6x – 3 = 0 \cr} \)
Advertisements (Quảng cáo)
Hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} + 6x – 3\) liên tục trên R nên liên tục trên đoạn [0; 1] (1)
Ta có \(f\left( 0 \right)f\left( 1 \right) = – 3.4 < 0\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra phương trình \({x^3} + 6x – 3 = 0\) có ít nhất một nghiệmthuộc (0; 1)
Do đó, phương trình \(\sqrt {{x^3} + 6x + 1} – 2 = 0\) có ít nhất một nghiệm dương.
Bài 3.10: Phương trình \({x^4} – 3{x^2} + 1 = 0\) có nghiệm hay không trong khoảng (-1; 3) ?
Advertisements (Quảng cáo)
Xét \(f\left( x \right) = {x^4} – 3{x^3} + 1 = 0\) trên đoạn [-1; 1]
Trả lời : Có.
Bài 3.11: Chứng minh các phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m :
a) \(\left( {1 – {m^2}} \right){\left( {x + 1} \right)^3} + {x^2} – x – 3 = 0\) ;
b) \(m\left( {2\cos x – \sqrt 2 } \right) = 2\sin 5x + 1\)
a) \(\left( {1 – {m^2}} \right){\left( {x + 1} \right)^3} + {x^2} – x – 3 = 0\)
\(f\left( x \right) = \left( {1 – {m^2}} \right){\left( {x + 1} \right)^3} + {x^2} – x – 3\) là hàm đa thức liên tục trên R. Do đó nó liên tục trên [-2; -1]
Ta có \(f\left( { – 1} \right) = – 1 < 0\) và \(f\left( { – 2} \right) = {m^2} + 2 > 0\) nên \(f\left( { – 1} \right)f\left( { – 2} \right) < 0\) với mọi m.
Do đó, phương trình \(f\left( x \right) = 0\) luôn có ít nhất một nghiệm trong khoảng (-2; -1) với mọi m. Nghĩa là, phương trình \(\left( {1 – {m^2}} \right){\left( {x + 1} \right)^3} + {x^2} – x – 3 = 0\) luôn có nghiệm với mọi m.
b) \(m\left( {2\cos x – \sqrt 2 } \right) = 2\sin 5x + 1\)
HD : Xét hàm số \(f\left( x \right) = m\left( {2\cos x – \sqrt 2 } \right) – 2\sin 5x – 1\) trên đoạn \(\left[ { – {\pi \over 4};{\pi \over 4}} \right]\)
