Bài 3.5: Xét tính liên tục của các hàm số sau:
a) \(f\left( x \right) = \sqrt {x + 5}\) tại x = 4 ;
b) \(g\left( x \right) = \left\{ \matrix{
{{x – 1} \over {\sqrt {2 – x} – 1}},\,\,{\rm{ nếu }}\,\,x \le 1 \hfill \cr
– 2x{\rm{ ,\,\, nếu }}\,\,x \ge 1 \hfill \cr} \right.\) tại x = 1
a) Hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {x + 5} \) có tập xác định là \({\rm{[}} – 5{\rm{ }};{\rm{ }} + \infty )\). Do đó, nó xác định trên khoảng \(\left( { – 5{\rm{ }};{\rm{ }} + \infty } \right)\) chứa x = 4
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \sqrt {x + 5} = 3 = f\left( 4 \right)\) nên \(f\left( x \right)\) liên tục tại x = 4
b) Hàm số: \(g\left( x \right) = \left\{ \matrix{
{{x – 1} \over {\sqrt {2 – x} – 1}},\,\,{\rm{ nếu }}\,\,x \le 1 \hfill \cr
– 2x{\rm{ ,\,\, nếu }}\,\,x \ge 1 \hfill \cr} \right.\) tại x = 1 có tập xác định là R
Ta có, \(g\left( 1 \right) = – 2\) (1)
\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} {{x – 1} \over {\sqrt {2 – x} – 1}} \cr
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} {{\left( {x – 1} \right)\left( {\sqrt {2 – x} + 1} \right)} \over {1 – x}} \cr
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} \left( { – \sqrt {2 – x} – 1} \right) = – 2 \cr}\) (2)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( { – 2x} \right) = – 2\) (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right) = – 2 = g\left( 1 \right)\)
Vậy g(x) liên tục tại x = 1
Advertisements (Quảng cáo)
Bài 3.6: Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng :
a) \(f\left( x \right) = \left\{ \matrix{
{{{x^2} – 2} \over {x – \sqrt 2 }},\,{\rm{ nếu }}\,\,x \ne \sqrt 2 \hfill \cr
2\sqrt 2 {\rm{ , \,\,nếu }}\,\,x = \sqrt 2 \hfill \cr} \right.\) ;
b) \(g\left( x \right) = \left\{ \matrix{
{{1 – x} \over {{{\left( {x – 2} \right)}^2}}},\,\,{\rm{ nếu }}\,\,x \ne 2 \hfill \cr
3{\rm{ ,\,\, nếu }}\,\,x = 2 \hfill \cr} \right.\)
a) \(f\left( x \right) = \left\{ \matrix{
{{{x^2} – 2} \over {x – \sqrt 2 }},\,{\rm{ nếu }}\,\,x \ne \sqrt 2 \hfill \cr
2\sqrt 2 {\rm{ , \,\,nếu }}\,\,x = \sqrt 2 \hfill \cr} \right.\) ;
Tập xác định của hàm số là D = R
– Nếu \(x \ne \sqrt 2 \) thì \(f\left( x \right) = {{{x^2} – 2} \over {x – \sqrt 2 }}\)
Advertisements (Quảng cáo)
Đây là hàm phân thức hữu tỉ nên liên tục trên các khoảng \(\left( { – \infty {\rm{ }};{\rm{ }}\sqrt 2 } \right)\) và \(\left( {\sqrt 2 {\rm{ }};{\rm{ }} + \infty } \right)\)
– Tại \(x = \sqrt 2 \) :
\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 2 } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 2 } {{{x^2} – 2} \over {x – \sqrt 2 }} \cr
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 2 } {{\left( {x – \sqrt 2 } \right)\left( {x + \sqrt 2 } \right)} \over {x – \sqrt 2 }} \cr
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 2 } \left( {x + \sqrt 2 } \right) = 2\sqrt 2 = f\left( {\sqrt 2 } \right) \cr}\)
Vậy hàm số liên tục tại \(x = \sqrt 2 \)
Kết luận : \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên R
b) \(g\left( x \right) = \left\{ \matrix{
{{1 – x} \over {{{\left( {x – 2} \right)}^2}}},\,\,{\rm{ nếu }}\,\,x \ne 2 \hfill \cr
3{\rm{ ,\,\, nếu }}\,\,x = 2 \hfill \cr} \right.\) có tập xác định là D = R
– Nếu \(x \ne 2\) thì \(g\left( x \right) = {{1 – x} \over {{{\left( {x – 2} \right)}^2}}}\) là hàm phân thức hữu tỉ, nên nó liên tục trên các khoảng \(\left( { – \infty ,2} \right)\) và \(\left( {2, + \infty } \right)\)
Tại x = 2 : \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {{1 – x} \over {{{\left( {x – 2} \right)}^2}}} = – \infty \)
Vậy hàm số \(y = g\left( x \right)\) không liên tục tại x = 2
Kết luận : \(y = g\left( x \right)\) liên tục trên các khoảng \(\left( { – \infty ,2} \right)\) và \(\left( {2, + \infty } \right)\) nhưng gián đoạn tại x = 2
Bài 3.7: Tìm giá trị của tham số m để hàm số
\(f\left( x \right) = \left\{ \matrix{
{{{x^2} – x – 2} \over {x – 2}},\,{\rm{ nếu }}\,\,x \ne 2 \hfill \cr
m{\rm{ , \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,,\,nếu }}\,\,x = 2 \hfill \cr} \right.\) liên tục tại x = 2
m = 3
Bài 3.8: Tìm giá trị của tham số m để hàm số
\(f\left( x \right) = \left\{ \matrix{
{{\sqrt x – 1} \over {{x^2} – 1}},\,\,{\rm{ nếu }}\,\,x \ne 1 \hfill \cr
{m^2}{\rm{ ,\,\, nếu }}\,\,x = 1 \hfill \cr} \right.\) liên tục trên \(\left( {0; + \infty } \right)\)
\(m = \pm {1 \over 2}\)
