Bài 1.5: Tính giới hạn của các dãy số có số hạng tổng quát sau đây, khi \(n \to + \infty \)
a) \({a_n} = {{2n – 3{n^3} + 1} \over {{n^3} + {n^2}}}\) ;
b) \({b_n} = {{3{n^3} – 5n + 1} \over {{n^2} + 4}}\) ;
c) \({c_n} = {{2n\sqrt n } \over {{n^2} + 2n – 1}}\) ;
d) \({d_n} = {{{{\left( {2 – 3n} \right)}^3}{{\left( {n + 1} \right)}^2}} \over {1 – 4{n^5}}}\) ;
e) \({u_n} = {2^n} + {1 \over n}\) ;
f) \({v_n} = {\left( { – {{\sqrt 2 } \over \pi }} \right)^n} + {{{3^n}} \over {{4^n}}}\) ;
g) \({u_n} = {{{3^n} – {4^n} + 1} \over {{{2.4}^n} + {2^n}}}\) ;
h) \({v_n} = {{\sqrt {{n^2} + n – 1} – \sqrt {4{n^2} – 2} } \over {n + 3}}\) ;
Giải :
Advertisements (Quảng cáo)
a) -3 ; b) +∞ ; c) 0 ; d) \({{27} \over 4}\) ;
e) \(\lim \left( {{2^n} + {1 \over n}} \right) = \lim {2^n}\left( {1 + {1 \over n}.{1 \over {{2^n}}}} \right) = + \infty \) ;
f) 0 ; g) \( – {1 \over 2}\) ; h) – 1 ;
Bài 1.6: Tính các giới hạn sau :
a) \(\lim \left( {{n^2} + 2n – 5} \right)\) ;
b) \(\lim \left( { – {n^3} – 3{n^2} – 2} \right)\) ;
Advertisements (Quảng cáo)
c) \(\lim \left[ {{4^n} + {{\left( { – 2} \right)}^n}} \right]\) ;
d) \(\lim n\left( {\sqrt {{n^2} – 1} – \sqrt {{n^2} + 2} } \right)\)
a) +∞ ;
b) -∞ ;
c) +∞ ;
d) \( – {3 \over 2}\) ;
Bài 1.7: Cho hai dãy số (un) và (vn). Chứng minh rằng nếu \(\lim {v_n} = 0\) và \(\left| {{u_n}} \right| \le {v_n}\) với mọi n thì \(\lim {u_n} = 0\)
Giải :
\(\lim {v_n} = 0 \Rightarrow \left| {{v_n}} \right|\) có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi (1)
Vì \(\left| {{u_n}} \right| \le {v_n}\) và \({v_n} \le \left| {{v_n}} \right|\) với mọi n, nên \(\left| {{u_n}} \right| \le \left| {{v_n}} \right|\) với mọi n. (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\left| {{u_n}} \right|\) cũng có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi, nghĩa là \(\lim {u_n} = 0\)
Bài 1.8: Biết \(\left| {{u_n} – 2} \right| \le {1 \over {{3^n}}}\). Có kết luận gì về giới hạn của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) ?
\(\lim {u_n} = 2\)
