Bài 9: Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có công bội là q và các số hạng là chẵn. Gọi \({S_c}\) là tổng các số hạng có chỉ số chẵn và \({S_l}\) là tổng các số hạng có chỉ số lẻ. Chứng minh rằng : \(q = {{{S_c}} \over {{S_l}}}\)
Gọi số hạng thứ nhất của cấp số nhân là \({u_1}\) và công bội là q.
Ta có
\(\eqalign{
& {S_1} = {u_1} + {u_1}{q^2} + {u_1}{q^4} + …\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \cr
& {S_c} = {u_1}q + {u_1}{q^3} + {u_1}{q^5} + …\,\,\,\,\,\left( 2 \right) \cr} \)
Nhân hai vế của (1) với q ta có
\(q{S_1} = {u_1}q + {u_1}{q^3} + {u_1}{q^5} + … = {S_c}\)
Vậy \(q = {{{S_c}} \over {{S_1}}}\)
Advertisements (Quảng cáo)
Bài 10: Có thể có một tam giác vuông mà số đo các cạnh của nó lập thành một cấp số cộng không ?
Gọi số đo ba cạnh của tam giác vuông là x – d, x, x + d
Theo giả thiết ta có \({\left( {x + d} \right)^2} = {\left( {x – d} \right)^2} + {x^2}\) (1)
Advertisements (Quảng cáo)
Từ (1) tìm được x = 0, x = 4d
Như vậy có thể có tam giác vuông thoả mãn đầu bài, các cạnh của nó là 3d, 4d, 5d. Đặc biệt, nếu d = 1 thì tam giác vuông có các cạnh là 3, 4, 5 (tam giác Ai Cập).
Bài 11: Tính tổng :
a) \({1 \over 2} + {3 \over {{2^2}}} + {5 \over {{2^3}}} + … + {{2n – 1} \over {{2^n}}}\) ;
b) \({1^2} – {2^2} + {3^2} – {4^2} + … + {\left( { – 1} \right)^{n – 1}}.{n^2}\)
a) HD: Đặt tổng là \({S_n}\) và tính \(2{S_n}\)
ĐS : \({S_n} = 3 – {{2n + 3} \over {{2^n}}}\)
b) HD : \({n^2} – {\left( {n + 1} \right)^2} = – 2n – 1\) Ta có \({1^2} – {2^2} = – 3{\rm{ }};{\rm{ }}{3^2} – {4^2} = – 7{\rm{ }};…\)
Ta có \({u_1} = – 3,d = – 4\) và tính \({S_n}\) trong từng trường hợp n chẵn, lẻ.
