Bài 3.4: Trong khai triển ${\left( {1 + ax} \right)^n}$ ta có số hạng đầu là 1, số hạng thứ hai là 24x, số hạng thứ ba là 252x2. Hãy tìm a và n.
Ta có: \({\left( {1 + ax} \right)^n} = 1 + C_n^1ax + C_n^2{a^2}{x^2} + …\)
Theo bài ra:
\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
C_n^1a = 24 \hfill \cr
C_n^2{a^2} = 252 \hfill \cr} \right. \cr
& \Rightarrow \left\{ \matrix{
na = 24 \hfill \cr
{{n\left( {n – 1} \right){a^2}} \over 2} = 252 \hfill \cr} \right. \cr
& \Rightarrow \left\{ \matrix{
na = 24 \hfill \cr
\left( {n – 1} \right)a = 21 \hfill \cr} \right. \cr
& \Rightarrow \left\{ \matrix{
a = 3 \hfill \cr
n = 8 \hfill \cr} \right.. \cr} \)
Bài 3.5: Trong khai triển của \({\left( {x + a} \right)^3}{\left( {x – b} \right)^6}\), hệ số của x7 là -9 và không có số hạng chứa x8. Tìm a và b.
Advertisements (Quảng cáo)
Số hạng chứa x7 là \(\left( {C_3^0.C_6^2{{\left( { – b} \right)}^2} + C_3^1a.C_6^1\left( { – b} \right) + C_3^2{a^2}C_6^0} \right){x^7}\)
Số hạng chứa x8 là \(\left( {C_3^0.C_6^1\left( { – b} \right) + C_3^1a.C_6^0} \right){x^8}\)
Theo bài ra ta có
\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
15{b^2} – 18ab + 3{a^2} = – 9 \hfill \cr
– 6b + 3a = 0 \hfill \cr} \right. \cr
& \Rightarrow \left\{ \matrix{
a = 2b \hfill \cr
{b^2} = 1 \hfill \cr} \right. \cr
& \Rightarrow \left[ \matrix{
\left\{ \matrix{
a = 2 \hfill \cr
b = 1 \hfill \cr} \right. \hfill \cr
\left\{ \matrix{
a = – 2 \hfill \cr
b = – 1 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right.. \cr}\)
Advertisements (Quảng cáo)
Bài 3.6: Xác định hệ số của số hạng chứa trong khai triển \({\left( {{x^2} – {2 \over x}} \right)^n}\) nếu biết tổng các hệ số của ba số hạng đầu trong khai triển đó bằng 97.
Ta có: \({\left( {{x^2} – {2 \over x}} \right)^n} = C_n^0{\left( {{x^2}} \right)^n} + C_n^1{\left( {{x^2}} \right)^{n – 1}}.\left( { – {2 \over x}} \right) + C_n^2{\left( {{x^2}} \right)^{n – 2}}.{\left( { – {2 \over x}} \right)^2} + …\)
Theo giả thiết, ta có:
\(\eqalign{
& C_n^0 – 2C_n^1 + 4C_n^2 = 97 \cr
& \Leftrightarrow 1 – 2n + 2n\left( {n – 1} \right) – 97 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {n^2} – 2n – 48 = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
n = 8 \hfill \cr
n = – 6{\rm{ }}\left( {loại} \right) \hfill \cr} \right. \cr}\)
Vậy n = 8. Từ đó ta có:
\(\eqalign{
& {\left( {{x^2} – {2 \over x}} \right)^8} \cr
& = \sum\limits_{k = 0}^8 {C_8^k{{\left( {{x^2}} \right)}^{8 – k}}{{\left( { – {2 \over x}} \right)}^k}} \cr
& = \sum\limits_{k = 0}^8 {{{\left( { – 2} \right)}^k}.C_8^k.{x^{16 – 3k}}} \cr} \)
Như vậy, ta phải có \(16 – 3k = 4 \Leftrightarrow k = 4\).
Do đó hệ số của số hạng chứa x4 là \({\left( { – 2} \right)^4}.C_8^4 = 1120\).
