Câu 124: Cho đoạn thẳng AB. Kẻ tia Ax bất kì, lấy các điểm C, D, E sao cho AC = CD = DE. Qua C và D kẻ các đường thẳng song song với EB. Chứng minh rằng đoạn thẳng AB bị chia ra ba phần bằng nhau.
Gọi giao điểm của các đường thẳng kẻ từ C và D song song với BE cắt AB tại M và N.
Ta có: AC = CD = DE (gt)
CM // DN // BE
Theo tính chất đường thẳng song song cách đều ta có: AM = MN = NB.
Câu 125: Cho góc vuông xOy, điểm A trên tia Oy. Điểm B di chuyển trên tia Ox. Gọi C là điểm đối xứng với A qua B. Điểm C di chuyển trên đường nào ?
Vì điểm C đối xứng với điểm A qua điểm B ⇒ BA = BC
Kẻ CH ⊥ Ox
Xét hai tam giác vuông AOB và CHB:
\(\widehat {AOB} = \widehat {CHB} = {90^0}\)
BA = BC (chứng minh trên)
\(\widehat {ABO} = \widehat {CBH}\) (đối đỉnh)
Do đó: ∆ AOB = ∆ CHB (cạnh huyền, góc nhọn) ⇒ CH = AO
Advertisements (Quảng cáo)
A, O cố định ⇒ OA không đổi nên CH không đổi.
C thay đổi cách Ox một khoảng bằng OA không đổi nên C chuyển động trên đường thẳng song song với Ox, cách Ox một khoảng OA.
Khi B trùng O thì C trùng với điểm K đối xứng với A qua điểm O.
Vậy C chuyển động trên tia Km // Ox, cách Ox một khoảng không đổi bằng OA.
Câu 126: Cho tam giác ABC, điểm M di chuyển trên cạnh BC. Gọi I là trung điểm của AM. Điểm I di chuyển trên đường nào ?
Kẻ AH ⊥ BC, IK ⊥ BC
⇒ AH // IK
Trong tam giác AHM ta có:
Advertisements (Quảng cáo)
⇒ AI = IM (gt)
IK // AH (chứng minh trên)
Suy ra: IK là đường trung bình của ∆ AHM
⇒ IK = \({1 \over 2}\)AH
∆ ABC cố định nên AH không thay đổi ⇒ IK = \({1 \over 2}\)AH không đổi.
I thay đổi cách BC một khoảng bằng \({{AH} \over 2}\) không đổi nên I nằm trên đường thẳng song song với BC, cách BC một khoảng bằng\({{AH} \over 2}\).
Khi M trùng với điểm B thì I trùng với P là trung điểm của AB.
Khi M trùng với điểm C thì I trùng với Q là trung điểm của AC.
Vậy khi M chuyển động trên cạnh BC của ∆ ABC thì trung điểm I của AM chuyển động trên đường trung bình PQ của ∆ ABC.
Câu 127: Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm M thuộc cạnh BC. Gọi D, E theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ M đến AB, AC.
a. So sánh các độ dài AM, DE.
b. Tìm vị trí của điểm M trên cạnh BC để DE có độ dài nhỏ nhất.
a. Xét tứ giác ADME ta có:
\(\widehat A = {90^0}\) (gt)
MD ⊥ AB (gt)
\( \Rightarrow \widehat {MDA} = {90^0}\)
ME ⊥ AC (gt)
\( \Rightarrow \widehat {MEA} = {90^0}\)
Suy ra: Tứ giác ADME là hình chữ nhật (vì có ba góc vuông)
⇒ AM = DE (tính chất hình chữ nhật)
b. Ta có: AH ⊥ BC nên AM ≥ AH. Dấu “=” xảy ra khi M trùng với H.
mà DE = AM (chứng minh trên)
Vậy DE có độ dài nhỏ nhất bằng AH khi M là chân đường vuông góc kẻ từ A đến BC.
