Câu 128: Cho điểm A nằm ngoài đường thẳng d. Điểm M di chuyển trên đường thẳng d. Gọi B là điểm đối xứng với A qua M. Điểm B di chuyển trên đường nào ?
Kẻ AK ⊥ d, BH ⊥ d
M thay đổi trên d, B đối xứng với A qua M nên AM = MB
Xét hai tam giác vuông AKM và BHM:
\(\widehat {AKM} = \widehat {BHM} = {90^0}\)
AM = MB (chứng minh trên)
\(\widehat {AMK} = \widehat {BMH}\) (đối đỉnh)
Do đó: ∆ AKM = ∆ BHM (cạnh huyền, góc nhọn) ⇒ AK = BH
Điểm A cố định, đường thẳng d cố định nên AK không thay đổi
M thay đổi, B thay đổi cách đường thẳng d cố định một khoảng bằng AK không đổi nên B chuyển động trên đường thẳng xy song song với d một khoảng bằng AK.
Câu 129: Cho đoạn thẳng AB, điểm M di chuyển trên đoạn thẳng ấy. Vẽ về một phía của AB các tam giác đều AMD, BME. Trung điểm I của DE di chuyển trên đường nào ?
Gọi giao điểm của AD và BE là C.
∆ ABC có: \(\widehat A = {60^0}\) (vì ∆ ADM đều)
\(\widehat B = {60^0}\) (vì ∆ BEM đều)
Advertisements (Quảng cáo)
Suy ra: ∆ ABC đều, AC = AB = BC nên điểm C cố định
\(\widehat A = \widehat {EMB} = {60^0}\)
⇒ ME // AC (vì có cặp góc đồng vị bằng nhau)
hay ME // DC
\(\widehat {DMA} = \widehat B = {60^0}\)
⇒ MD // BC (vì có cặp góc đồng vị bằng nhau)
hay MD // EC
Tứ giác CDME là hình bình hành
I là trung điểm của DE nên I là trung điểm của CM
Kẻ CH ⊥ AB, IK ⊥ AB ⇒ IK // CH
Trong ∆ CHM ta có:
CI = IM
Advertisements (Quảng cáo)
IK // CH
nên IK là đường trung bình của ∆ CHM ⇒ IK = \({1 \over 2}\)CH
C cố định ⇒ CH không đổi ⇒ IK =\({1 \over 2}\)CH không thay đổi nên I chuyển động trên đường thẳng song song AB, cách AB một khoảng bằng \({1 \over 2}\)CH.
Khi M trùng với A thì I trùng trung điểm P của AC.
Khi M trùng với B thì I trùng với trung điểm Q của BC.
Vậy khi M chuyển động trên đoạn thẳng AB thì I chuyển động trên đoạn PQ (P là trung điểm của AC, Q là trung điểm của BC)
Câu 130: Hình chữ nhật ABCD có cạnh AD bằng nửa đường chéo AC. Tính góc nhọn tạo bởi hai đường chéo.
Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.
AC = BD (tính chất hình chữ nhật)
⇒ OA = OD = \({1 \over 2}\)AC
AD = \({1 \over 2}\)AC (gt)
Suy ra: OA = OD = AD
⇒ ∆ OAD đều
\( \Rightarrow \widehat {AOD} = {60^0}\)
Câu 131: Dựng hình chữ nhật ABCD, biết đường chéo AC = 4cm, góc tạo bởi hai đường chéo bằng 100°.
Cách dựng:
– Dựng ∆ OAB biết OA = OB = 2cm.
\(\widehat {AOB} = {100^0}\)
– Trên tia đối tia OA dựng điểm C sao cho OC = OA = 2cm
– Trên tia đối tia OB dựng điểm D sao cho OD = OB = 2cm
Nối AD, BC, CD ta có hình chữ nhật ABCD cần dựng.
Chứng minh:
OA = OC, OB = OD nên tứ giác ABCD là hình bình hành
AC = BD = 4(cm) nên hình bình hành ABCD là hình chữ nhật
Lại có : \(\widehat {AOB} = {100^0}\)
