Câu 88: Cho tam giác ABC. Ở phía ngoài tam giác, vẽ các tam giác vuông cân tại A là ABD, ACE. Vẽ hình bình hành ADIE. Chứng minh rằng:
a. IA = BC; b. IA ⊥ BC.
a. \(\widehat {BAC} + \widehat {BAD} + \widehat {DAE} + \widehat {EAC} = {360^0}\)
\(\widehat {BAD} = {90^0},\widehat {EAC} = {90^0}(gt)\)
Suy ra: \(\widehat {BAC} + \widehat {DAE} = {180^0}\) (1)
AE // DI (gt)
⇒ \(\widehat {ADI} + \widehat {DAE} = {180^0}\) (hai góc trong cùng phía) (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
Xét ∆ ABC và ∆ DAI :
AB = AD (gt)
\(\widehat {BAC} = \widehat {ADI}\) (chứng minh trên)
AC = DI (vì cùng bằng AE)
Do đó: ∆ ABC = ∆ DAI (c.g.c) ⇒ IA = BC
b. ∆ ABC = ∆ DAI ( chứng minh trên) \( \Rightarrow {\widehat A_1} = {\widehat B_1}\) (3)
Gọi giao điểm IA và BC là H.
Ta có: \({\widehat A_1} + \widehat {BAD} + {\widehat A_2} = {180^0}\) (kề bù)
mà \(\widehat {BAD} = {90^0}(gt) \Rightarrow {\widehat A_1} + {\widehat A_2} = {90^0}\) (4)
Từ (3) và (4) suy ra: \({\widehat B_1} = {\widehat A_2} = {90^0}\)
Trong ∆ AHB ta có: \(\widehat {AHB} + \widehat {{B_1}} + {\widehat A_2} = {180^0}\)
Suy ra \(\widehat {AHB} = {90^0} \Rightarrow AH \bot BC\) hay IA ⊥ BC
Advertisements (Quảng cáo)
Câu 89: Dựng hình bình hành ABCD, biết:
a. AB = 2cm, AD = 3cm, \(\widehat A = {110^0}\)
b. AC = 4cm, BD = 5cm, \(\widehat {BOC} = {50^0}\) (O là giao điểm của hai đường chéo).
Cách dựng:
Dựng ∆ ABD có AB = 2cm, \(\widehat A = {110^0}\), AD = 3cm
– Dựng tia Bx // AD
– Dựng tia Dy // AB cắt Bx tại C
Ta có hình bình hành ABCD cần dựng
Chứng minh: AB // CD, AD // BC nên tứ giác ABCD là hình bình hành.
Ta lại có AB = 2cm, \(\widehat A = {110^0}\) , AD = 3cm. Bài toán có một nghiệm hình.
b.
Advertisements (Quảng cáo)
Cách dựng:
– Dựng ∆ OBC có OC = 2cm, OB = 2,5cm , \(\widehat O = {50^0}\)
– Trên tia đối tia OC lấy điểm A sao cho OA = OC = 2cm
– Trên tia đối tia OB lấy điểm D sao cho AD = OB = 2,5cm
Nối AB, BC, CD, AD ta có hình bình hành ABCD cần dựng
Chứng minh: Tứ giác ABCD có OA = OC, OB = OD nên nó là hình bình hành vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
Có AC = 4cm, BD = 5cm, \(\widehat {BOC} = {50^0}\)
Bài toán có một nghiệm hình.
Câu 90: Cho ba điểm A, B, C trên giấy kẻ ô vuông (h.12). Hãy vẽ điểm thứ tư M sao cho A, B, C, M là bốn đỉnh của một hình bình hành
– Nếu hình bình hành nhận AC làm đường chéo vì AB là đường chéo hình vuông có cạnh là hai ô vuông nên \(C{M_1}\) là đường chéo hình vuông cạnh 2 ô vuông và A, \({M_1}\)nằm trên nửa mặt phẳng bờ BC ta có hình bình hành \(ABC{M_1}\) .
– Nếu hình bình hành nhận BC làm đường chéo, điểm A cách điểm C ba ô vuông , điểm B cách \({M_2}\) là ba ô vuông và C, \({M_2}\)cũng nằm trên nửa mặt phẳng bờ AB ta có hình bình hành \(AB{M_2}C\)
– Nếu hình bình hành nhận AB làm đường chéo thì điểm \({M_3}\) cách điểm B ba ô vuông, \({M_3}\)và A nằm trên cũng một nửa mặt phẳng bờ BC ta có hình bình hành \(ACB{M_3}\) .
Câu 91: Cho tam giác ABC. Dựng đường thẳng song song với BC, cắt cạnh AB ở E, cắt cạnh AC ở F sao cho BE = AF.
Cách dựng:
– Dựng đường phân giác AD
– Qua D dựng đường thẳng song song AB cắt AC tại F.
– Qua F dựng đường thẳng song song với BC cắt AB tại E.
Ta có điểm E, F cần dựng.
Chứng minh: DF // AB
\( \Rightarrow {\widehat A_1} = {\widehat D_1}\) (so le trong)
\({\widehat A_1} = {\widehat A_2}\) (gt)
Suy ra: \({\widehat D_1} = {\widehat A_2}\)
⇒ ∆ AFD cân tại F
⇒ AF = DF (1)
DF // AB hay DF // BE
EF // BC hay EF // ED
Tứ giác BDFE là hình bình hành ⇒ BE = DF (2)
Từ (1) và (2) suy ra: AF = BE
