Câu 92: Cho hình 13 trong đó ABCD là hình bình hành. Chứng minh rằng điểm M đối xứng với điểm N qua điểm C.
Tứ giác ABCD là hình bình hành
⇒ AB // CD hay BM // CD
Xét tứ giác BMCD ta có:
BM // CD
BM = CD (gt)
Suy ra: Tứ giác BMCD là hình bình hành ( vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau)
⇒ MC // BD và MC = BD (1)
AD // BC ( gt) hay DN // BC
Xét tứ giác BCND ta có:
DN // BC
DN = BC (vì cùng bằng AD)
Suy ra: Tứ giác BCND là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau)
⇒ CN // BD và CN = BD (2)
Từ (1) và (2) suy ra: M, C, N thẳng hàng và MC = CN
Vậy M và N đối xứng qua tâm C.
Advertisements (Quảng cáo)
Câu 93: Cho hình 14 trong đó DE // AB, DF // AC. Chứng minh rằng điểm E đối xưng với điểm F qua điểm I.
DE // AB (gt) hay DE //AF
DF // AC (gt)
hay DF // AE
Tứ giác AEDF là hình bình hành.
I là trung điểm của AD nên EF đi qua trung điểm I và IE = IF ( tính chất hình bình hành)
Vậy E và F đối xứng qua tâm I.
Câu 94: Cho tam giác ABC, các đường trung tuyến BM, CN. Gọi D là điểm đối xứng với B qua M, gọi E là điểm đối xứng với C qua N. Chứng minh rằng điểm D đối xứng với điểm E qua điểm A.
Advertisements (Quảng cáo)
Xét tứ giác ABCD ta có:
MA = MC (gt)
MB = MD (định nghĩa đối xứng tâm)
Suy ra: Tứ giác ABCD là hình bình hành ( vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường)
⇒ AD // BC và AD = BC (1)
Xét tứ giác ACBE:
AN = NB (gt)
NC = NE ( định nghĩa đối xứng tâm)
Suy ra: Tứ giác ACBE là hình bình hành (vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường) ⇒ AE // BC và AE = BC (2)
Từ (1) và (2) suy ra: A, D, E thẳng hàng và AD = AE
nên A là trung điểm của DE hay điểm D đối xứng với điểm E qua điểm A.
Câu 95: Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm D thuộc cạnh BC. Gọi E là điểm đối xứng với D qua AB, gọi F là điểm đối xứng với D qua AC. Chứng minh rằng các điểm E và F đối xứng nhau qua điểm A.
Vì E đối xứng với D qua AB
⇒ AB là đường trung trực của đoạn thẳng DE
⇒ AD = AE (tính chất đường trung trực)
nên ∆ ADE cân tại A
Suy ra: AB là đường phân giác của \(\widehat {DAE} \Rightarrow {\widehat A_1} = \widehat {{A_2}}\)
Vì F đối xứng với D qua AC
⇒ AC là đường trung trực của đoạn thẳng DF
⇒ AD = AF ( tính chất đường trung trực)
nên ∆ ADF cân tại A
Suy ra: AC là đường phân giác của \(\widehat {DAF}\)
\( \Rightarrow {\widehat A_3} = {\widehat A_4}\)
\(\widehat {EAF} = \widehat {EAD} + \widehat {{\rm{DAF}}} = {\widehat A_2} + {\widehat A_1} + {\widehat A_3} + {\widehat A_4}\)
\(= 2\left( {{{\widehat A}_1} + {{\widehat A}_3}} \right) = {2.90^0} = {180^0}\)
⇒ E, A, F thẳng hàng có AE = AF = AD
nên A là trung điểm của EF hay điểm E đối xứng với F qua điểm A.
