Bài 68, 70, 71, 72 trang 87, 88 SBT Toán 8 tập 1: Chứng minh rằng giao điểm hai đường chéo của hình thang cân nằm trên trục đối xứng của hình thang cân

Câu 68: Trong các hình nét đậm vẽ trên giấy kẻ ô vuông ở hình 4, hình 5, hình nào có trục đối xứng ? 

Câu 70: Điền dấu “x” vào ô thích hợp:

   Giải

Câu 71: Chứng minh rằng giao điểm hai đường chéo của hình thang cân nằm trên trục đối xứng của hình thang cân.

Hình thang cân ABCD có AB // CD. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.

Xét ∆ ADC và ∆ BCD:

AD = BC ( tính chất hình thang cân)

AC = BD ( tính chất hình thang cân)

CD cạnh chung

Do đó ∆ ADC = ∆ BCD (c.c.c)

\( \Rightarrow {\widehat D_1} = {\widehat C_1}\)

⇒ ∆ OCD cân tại O

⇒ OC = OD nên O nằm trên đường trung trực của CD.

Trục đối xứng của hình thang cân là đường thẳng trung trực của hai đáy.

Vậy O thuộc trục đối xứng của hình thang cân.

Câu 72: Cho góc nhọn xOy, điểm A nằm trong góc đó. Dựng điểm B thuộc tia Ox, điểm C thuộc tia Oy sao cho tam giác ABC có chu vi nhỏ nhất.

Cách dựng:

       –            Dựng điểm D đối xứng với A qua Ox

       –            Dựng điểm E đối xứng với A qua tia Oy

       –            Nối DE cắt Ox tại B, Oy tại C

Tam giác ABC là tam giác có chu vi nhỏ nhất.

Vì \(\widehat {xOy} < {90^0}\) nên DE luôn cắt Ox và Oy do đó ∆ ABC luôn dựng được.

Chứng minh:

Chu vi ∆ ABC bằng AB + BC + AC

Vì D đối xứng với A qua Ox nên Õ là đường trung trực của AD

⇒ AB = BD ( tính chất đường trung trực)

E đối xứng với A qua Oy nên Oy là đường trung trực của AE

⇒AC = CE ( tính chất đường trung trực)

Suy ra: AB + BC + AC = BD + BC + CE = DE (1)

Lấy B’ bất kì trên Ox, C’ bất kì trên tia Oy. Nối C’E, C’A, B’A, B’D.

Ta có: B’A = B’D ( tính chất đường trung trực)

            C’A = C’E (tính chất đường trung trực)

Chu vi ∆ AB’C’ bằng AB’ + AC’ + B’C’ = B’D + B’C’ +C’E (2)

Vì DE ≤ B’D + B’C’ + C’E (dấu bằng sảy ra khi B’ trùng B. C’ trùng C)

nên chu vi của ∆ ABC ≤ chu vị của ∆ A’B’C’

Vậy ∆ ABC có chu vi bé nhất.