1. Cho tam giác ABC vuông tại A có trọng tâm là G. Biết rằng AB=6 và AC=8. Tính độ dài của các véc tơ \(\overrightarrow {GB} – \overrightarrow {GC} \) và \(\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} \).
2. Cho hai hình bình hành ABCD và AMNP có chung đỉnh A. Chứng minh rằng \(\overrightarrow {BM} + \overrightarrow {DP} = \overrightarrow {CN} \).
3. Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi G là trọng tâm tam giác OCD. Hãy biểu thị \(\overrightarrow {BG} \) theo các véc tơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \).
1.
Theo định lí Pitago ta có: \(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = \sqrt {36 + 64} = 10\)
Ta có \(\overrightarrow {GB} – \overrightarrow {GC} = \overrightarrow {CB} \) . Suy ra \(\left| {\overrightarrow {GB} – \overrightarrow {GC} } \right| = \left| {\overrightarrow {CB} } \right| = CB = 10\)
Advertisements (Quảng cáo)
Gọi M là trung điểm BC. Ta có \(\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = 2\overrightarrow {GM} \) .
Mà \(GM = \dfrac{1 }{3}AM = \dfrac{1 }{6}BC = \dfrac{10} {6} = \dfrac{5 }{ 3}\)
Vậy \(\left| {\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right| = \left| {2\overrightarrow {GM} } \right| = 2GM = \dfrac{10}{3}\)
2.
Ta có
Advertisements (Quảng cáo)
\(\overrightarrow {BM} + \overrightarrow {DP} \)
\(= \overrightarrow {AM} – \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AP} – \overrightarrow {AD} \)
\( = \left( {\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {AP} } \right) – \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right) \)
\(= \overrightarrow {AN} – \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {CN} \)
3.
Ta có:
\(\eqalign{ & \overrightarrow {BG} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {BO} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BD} } \right) \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AO} – \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} – \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} – \overrightarrow {AB} } \right) \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{1}{3}\left[ { – 3\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right] \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{1}{3}\left( { – \frac{3}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{5}{2}\overrightarrow {AC} } \right) = – \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{5}{6}\overrightarrow {AC} {\text{ }} \cr} \)
