Câu 31: Cho đường tròn (O), các bán kính OA và OB. Trên cung nhỏ AB lấy các điểm M và N sao cho AM = BN. Gọi C là giao điểm của các đường thẳng AM và BN. Chứng minh rằng
a) OC là tia phân giác của góc AOB.
b) OC vuông góc với AB.
a) Kẻ OH ⊥ AM, OK ⊥ BN
Ta có: AM = BN (gt)
Suy ra: OH = OK (hai dây bằng nhau cách đều tâm)
Xét hai tam giác OCH và OCK, ta có:
\(\widehat {OHC} = \widehat {OKC} = 90^\circ \)
OC chung
OH = OK (chứng minh trên)
Suy ra: ∆OCH = ∆OCK (cạnh huyền, cạnh góc vuông)
\(\widehat {{O_1}} = \widehat {{O_2}}\)
Xét hai tam giác OAH và OBK, ta có:
\(\widehat {OHA} = \widehat {OKB} = 90^\circ \)
OA = OB
OH = OK ( chứng minh trên)
Suy ra: ∆OAH = ∆OBK (cạnh huyền, cạnh góc vuông)
Advertisements (Quảng cáo)
\(\widehat {{O_3}} = \widehat {{O_4}}\)
Suy ra: \(\widehat {{O_1}} + \widehat {{O_3}} = \widehat {{O_2}} + \widehat {{O_4}}\) hay \(\widehat {AOC} = \widehat {BOC}\)
Vậy OC là tia phân giác của \(\widehat {AOB}\)
b) Tam giác OAB cân tại O có OC là tia phân giác nên OC đồng thời cũng là đường cao ( tính chất tam giác cân).
Suy ra: OC ⊥ AB.
Câu 32*: Cho đường tròn tâm O bán kính 5dm, điểm M cách O là 3dm.
a) Tính độ dài dây ngắn nhất đi qua điểm M.
b) Tính độ dài dây dài nhất đi qua M.
a) Dây đi qua M ngắn dây là dây AB vuông góc với OM.
Advertisements (Quảng cáo)
Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông OAM ta có:
\(O{A^2} = A{M^2} + O{M^2}\)
Suy ra: \(A{M^2} = O{A^2} – O{M^2} = {5^2} – {3^2} = 16\)
AM = 4 (dm)
Ta có: OM ⊥ AB
Suy ra: AM = \({1 \over 2}AB\)
Hay: AB = 2AM = 2.4 = 8 (dm)
b) Dây đi qua M lớn nhất khi nó là đường kính của đường tròn (O). Vậy dây có độ dài bằng 2R = 2.5 = 10 (dm)
Câu 33*: Cho đường tròn (O), hai dây AB và CD cắt nhau tại điểm M nằm bên trong đường tròn. Gọi H và K theo thứ tự là trung điểm của AB và CD. Cho biết AB >CD, chứng minh rằng MH > MK.
Ta có: HA = HB (gt)
Suy ra: OH ⊥ AB (đường kính dây cung)
Lại có: KC = KD (gt)
Suy ra: OK ⊥ CD ( đường kính dây cung)
Mà AB > CD (gt)
Nên OK > OH ( dây lớn hơn gần tâm hơn)
Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông OHM ta có:
\(O{M^2} = O{H^2} + H{M^2}\)
Suy ra: \(H{M^2} = O{M^2} – O{H^2}\) (1)
Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông OKM, ta có:
\(O{M^2} = O{K^2} + K{M^2}\)
Suy ra: \(K{M^2} = O{M^2} – O{K^2}\) (2)
Mà OH < OK (cmt) (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: \(H{M^2} > K{M^2}\) hay HM > KM.
