Câu 85: Cho đường tròn (O), đường kính AB, điểm M thuộc đường tròn. Vẽ điểm N đối xứng với A qua M. BN cắt đường tròn ở C. Gọi E là giao điểm của AC và BM.
a) Chứng minh rằng NE ⊥ AB.
b) Gọi F là điểm đối xứng với E qua M. Chứng minh rằng FA là tiếp tuyến của đường tròn (O).
c) Chứng minh rằng FN là tiếp tuyến của đường tròn ( B ; BA).
a) Tam giác ABM nội tiếp trong đường tròn (O) có AB là đường kính nên vuông tại M
Suy ra: AN ⊥ BM
Tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O) có AB là đường kính nên vuông tại C
Suy ra: AC ⊥ BN
Tam giác ABN có hai đường cao AC và BM cắt nhau tại E nên E là trọng tâm của tam giác ABN
Suy ra: NE ⊥ AB
b) Ta có: MA = MN ( tính chất đối xứng tâm)
ME = MF ( tính chất đối xứng tâm)
Tứ giác AENF có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi điểm đường nên nó là hình bình hành.
Suy ra: AF // NE
Mà NE ⊥ AB ( chứng minh trên)
Suy ra: AF ⊥ AB tại A.
Vậy FA là đường trung tuyến của đường tròn (O).
c) Trong tam giác ABN ta có: AN ⊥ BM và AM = AN
Suy ra tam giác ABN cân tại B.
Suy ra BA = BN hay N thuộc đường tròn (B; BA)
Tứ giác AFNE là hình bình hành nên AE // FN hay FN // AC
Mặt khác: AC ⊥ BN ( chứng minh trên)
Suy ra: FN ⊥ BN tại N
Vậy FN là tiếp tuyến của đường tròn ( B; BA).
Câu 86: Cho đường tròn (O), đường kính AB, điểm C nằm giữa A và O. Vẽ đường tròn (O’) có đường kính CB.
a) Hai đường tròn (O) và (O’) có vị trí tương đối như thế nào đối với nhau ?
b) Kẻ dây DE của đường tròn (O) vuông góc với AC tại trung điểm H của AC. Tứ giác ADCE là hình gì ? Vì sao?
c) Gọi K là giao điểm của DB và đường tròn (O’). Chứng minh rằng ba điểm E, C, K thẳng hàng.
d) Chứng minh rằng HK là tiếp tuyến của đường tròn (O’).
a) Vì O, O’ và B thẳng hàng nên: O’B < OB ⇒ O’ nằm giữa O và B
Ta có: OO’ = OB – O¢B
Vậy đường tròn (O’) tiếp xúc với đường tròn (O) tại B.
b) Ta có: HA = HC (gt)
AB ⊥ DE (gt)
Suy ra: HD = HE (đường kính vuông góc với dây cung)
Advertisements (Quảng cáo)
Tứ giác ADCE có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên nó là hình bình hành.
Lại có: AC ⊥ DE
Suy ra tứ giác ADCE là hình thoi.
c) Tam giác ABD nội tiếp trong đường tròn (O) có AB là đường kính nên vuông tại D.
Suy ra: AD ⊥ BD
Tứ giác ADCE là hình thoi nên EC // AD
Suy ra: EC ⊥ BD (1)
Tam giác BCK nội tiếp trong đường tròn (O¢) có BC là đường kính nên vuông tại K.
Suy ra: CK ⊥ BD (2)
Từ (1) và (2) suy ra EC trùng với CK
Vậy E, C, K thẳng hàng.
d) Tam giác DEK vuông tại K có KH là trung tuyến thuộc cạnh huyền DE nên:
\(HK = HE = {1 \over 2}DE\) (tính chất tam giác vuông)
Suy ra tam giác EHK cân tại H
Suy ra: \(\widehat {HEK} = \widehat {HKE}\) (tính chất tam giác cân) (3)
Ta có: O’K = O’C (= R) nên tam giác O’CK cân tại O’
Suy ra: \(\widehat {O’KC} = \widehat {O’CK}\) (tính chất tam giác cân)
Mà: \(\widehat {O’CK} = \widehat {HCE}\) (đối đỉnh)
Suy ra: \(\widehat {O’KC} = \widehat {HCE}\) (4)
Từ (3) và (4) suy ra: \(\widehat {HKO’} = \widehat {HKE} + \widehat {O’KC} = \widehat {HEK} + \widehat {HCE}\) (5)
Tam giác CEH vuông tại H nên \(\widehat {HEK} + \widehat {HCE} = 90^\circ \) (6)
Từ (5) và (6) suy ra: \(\widehat {HKO’} = 90^\circ \) hay HK ⊥ KO’ tại K
Vậy HK là tiếp tuyến của đường tròn (O’).
Câu 87: Cho hai đường tròn (O ; R) và (O’ ; R’) tiếp xúc ngoài tại A ( R > R’).
Vẽ các đường kính AOB, AO¢C. Dây DE của đường tròn (O) vuông góc với BC tại trung điểm K của BC.
a) Chứng minh rằng tứ giác BDCE là hình thoi.
Advertisements (Quảng cáo)
b) Gọi I là giao điểm của EC và đường tròn (O¢). Chứng minh rằng ba điểm D, A, I thẳng hàng.
c) Chứng minh rằng KI là tiếp tuyến của đường tròn (O¢).
a) Vì đường tròn (O) và (O¢) tiếp xúcngoài tại A nên O, A và O’ thẳng hàng.
Ta có: KB = KC (gt)
Trong đường tròn (O) ta có:
AB ⊥ DE tại K
Suy ra: KD = KE ( đường kính vuông góc với dây cung)
Tứ giác BDCE có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên nó là hình bình hành.
Lại có: BC ⊥ DE
Suy ra tứ giác BDCE là hình thoi.
b) Tam giác ABD nội tiếp trong đường tròn (O) có AB là đường kính nên vuông tại D.
Suy ra: AD ⊥ BD
Tứ giác BDCE là hình thoi nên EC // BD
Suy ra: EC ⊥ AD (1)
Tam giác AIC nội tiếp trong đường tròn (O¢) có AC là đường kính nên vuông tại I.
Suy ra: AI ⊥ CE (2)
Từ (1) và (2) suy ra AD trùng với AI
Vậy D, A, I thẳng hàng.
c) Tam giác DIE vuông tại I có IK là trung tuyến thuộc cạnh huyền DE nên:
\(KI = KD = {1 \over 2}ED\) ( tính chất tam giác vuông)
Suy ra tam giác IKD cân tại K
Suy ra: \(\widehat {KID} = \widehat {KDI}\) hay \(\widehat {KIA} = \widehat {KDA}\) (3)
Ta có: O’A = O’I ( = R) nên tam giác O’IA cân tại O’
Suy ra: \(\widehat {O’AI} = \widehat {O’IA}\) ( tính chất tam giác cân)
Mà: \(\widehat {O’AI} = \widehat {KAD}\) (đối đỉnh)
Suy ra: \(\widehat {O’IA} = \widehat {KAD}\) (4)
Từ (3) và (4) suy ra: \(\widehat {KIO’} = 90^\circ \) hay KI ⊥ O’I tại I.
Vậy KI là tiếp tuyến của đường tròn (O’).
Câu 88: Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB. Gọi M là điểm bất kì thuộc nửa đường tròn, H là chân đường vuông góc kẻ từ M đến AB. Vẽ đường tròn (M ; MH). Kẻ các tiếp tuyến AC, BD với đường tròn tâm M ( C và D là các tiếp điểm khác H).
a) Chứng minh rằng ba điểm C, M, D thẳng hàng và CD là tiếp tuyến của đường tròn (O).
b) Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên nửa đường tròn (O) thì tổng AC + BD không đổi.
c) Giả sử CD và AB cắt nhau tại I. Chứng minh rằng tích OH.OI không đổi.
a) Trong đường tròn (M; MH), theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:
− MA là tia phân cách của góc HMC
Suy ra: \(\widehat {CMA} = \widehat {HMA}\) hay \(\widehat {CMH} = 2\widehat {HMA}\)
− MB là tia phân giác của góc HMD
Suy ra: \(\widehat {HMB} = \widehat {DMB}\) hay \(\widehat {DMH} = 2\widehat {HMB}\)
Tam giác ABM nội tiếp đường tròn (O) có AB là đường kính nên vuông tại M
Suy ra: \(\widehat {AMB} = 90^\circ \) hay \(\widehat {HMA} + \widehat {HMB} = 90^\circ \)
Suy ra: \(\widehat {CMH} + \widehat {HMD} = 2\widehat {HMA} + 2\widehat {HMB}\)
\(= 2 (\widehat {HMA} + \widehat {HMB}) = 2.90^\circ = 180^\circ \)
Vậy C, M, D thẳng hàng.
b) Trong đường tròn (M ; MH), theo (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:
AC = AH và BD = BH
Khi M thay đổi trên nửa đường tròn tâm O thì AC luôn bằng AH và BD luôn bằng BH.
Suy ra: AC + BD = AH + BH = AB không đổi
c) Ta có: AC ⊥ CD và BD ⊥ CD ( tính chất tiếp tuyến)
Suy ra: AC // BD hay tứ giác ABDC là hình thang
Mà OA = OB ( bán kính (O))
Và AC = MD ( bán kính (M))
Suy ra OM là đường trung bình của hình thang ABCD
Khi đó OM // AC. Suy ra: OM ⊥ CD hay \(\widehat {OMI} = 90^\circ \)
Tam giác OMI vuông tại M có MH ⊥ OI.
Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:
OM2 = OH.OI
Suy ra: OH.OI = R2 không đổi.
