Câu 41: Giải các phương trình sau:
a. \({{2x + 1} \over {x – 1}} = {{5\left( {x – 1} \right)} \over {x + 1}}\)
b. \({{x – 3} \over {x – 2}} + {{x – 2} \over {x – 4}} = – 1\)
c. \({1 \over {x – 1}} + {{2{x^2} – 5} \over {{x^3} – 1}} = {4 \over {{x^2} + x + 1}}\)
d. \({{13} \over {\left( {x – 3} \right)\left( {2x + 7} \right)}} + {1 \over {2x + 7}} = {6 \over {{x^2} – 9}}\)
a. \({{2x + 1} \over {x – 1}} = {{5\left( {x – 1} \right)} \over {x + 1}}$ ĐKXĐ:
\(\eqalign{ & \Leftrightarrow {{\left( {2x + 1} \right)\left( {x + 1} \right)} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {x – 1} \right)}} = {{5\left( {x – 1} \right)\left( {x – 1} \right)} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {x – 1} \right)}} \cr & \Leftrightarrow \left( {2x + 1} \right)\left( {x + 1} \right) = 5\left( {x – 1} \right)\left( {x – 1} \right) \cr & \Leftrightarrow 2{x^2} + 2x + x + 1 = 5{x^2} – 10x + 5 \cr & \Leftrightarrow 2{x^2} – 5{x^2} + 2x + x + 10x + 1 – 5 = 0 \cr & \Leftrightarrow – 3{x^2} + 13x – 4 = 0 \cr & \Leftrightarrow 3{x^2} – x – 12x + 4 = 0 \cr & \Leftrightarrow x\left( {3x – 1} \right) – 4\left( {3x – 1} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {3x – 1} \right)\left( {x – 4} \right) = 0 \cr} \)
\( \Leftrightarrow x – 4 = 0\) hoặc \(3x – 1 = 0\)
+) \(x – 4 = 0 \Leftrightarrow x = 4\) (thỏa mãn)
+) \(3x – 1 = 0 \Leftrightarrow x = {1 \over 3}\) (thỏa mãn)
Vậy phương trình có nghiệm x = 4 hoặc \(x = {1 \over 3}\)
b. \({{x – 3} \over {x – 2}} + {{x – 2} \over {x – 4}} = – 1\) ĐKXĐ: \(x \ne 2\)và \(x \ne 4\)
\(\eqalign{ & \Leftrightarrow {{\left( {x – 3} \right)\left( {x – 4} \right)} \over {\left( {x – 2} \right)\left( {x – 4} \right)}} + {{\left( {x – 2} \right)\left( {x – 2} \right)} \over {\left( {x – 2} \right)\left( {x – 4} \right)}} = – {{\left( {x – 2} \right)\left( {x – 4} \right)} \over {\left( {x – 2} \right)\left( {x – 4} \right)}} \cr & \Leftrightarrow \left( {x – 3} \right)\left( {x – 4} \right) + \left( {x – 2} \right)\left( {x – 2} \right) = – \left( {x – 2} \right)\left( {x – 4} \right) \cr & \Leftrightarrow {x^2} – 4x – 3x + 12 + {x^2} – 2x – 2x + 4 = – {x^2} + 4x + 2x – 8 \cr & \Leftrightarrow 3{x^2} – 17x + 24 = 0 \cr & \Leftrightarrow 3{x^2} – 9x – 8x + 24 = 0 \cr & \Leftrightarrow 3x\left( {x – 3} \right) – 8\left( {x – 3} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {3x – 8} \right)\left( {x – 3} \right) = 0 \cr} \)
\( \Leftrightarrow 3x – 8 = 0\) hoặc \(x – 3 = 0\)
+ \(3x – 8 = 0 \Leftrightarrow x = {8 \over 3}\) (thỏa mãn)
+ \(x – 3 = 0 \Leftrightarrow x = 3\) (thỏa mãn)
Vậy phương trình có nghiệm \(x = {8 \over 3}\) hoặc x = 3
c. \({1 \over {x – 1}} + {{2{x^2} – 5} \over {{x^3} – 1}} = {4 \over {{x^2} + x + 1}}\)
ĐKXĐ: \(x \ne 1\)
\(\eqalign{ & \Leftrightarrow {{{x^2} + x + 1} \over {{x^3} – 1}} + {{2{x^2} – 5} \over {{x^3} – 1}} = {{4\left( {x – 1} \right)} \over {{x^3} – 1}} \cr & \Leftrightarrow {x^2} + x + 1 + 2{x^2} – 5 = 4\left( {x – 1} \right) \cr & \Leftrightarrow {x^2} + x + 1 + 2{x^2} – 5 = 4x – 4 \cr & \Leftrightarrow {x^2} + 2{x^2} + x – 4x = – 4 + 5 – 1 \cr & \Leftrightarrow 3{x^2} – 3x = 0 \cr & \Leftrightarrow 3x\left( {x – 1} \right) = 0 \cr} \)
\( \Leftrightarrow x = 0\) (thỏa) hoặc \(x – 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1\) (loại)
Vậy phương trình có nghiệm x = 0
d. \({{13} \over {\left( {x – 3} \right)\left( {2x + 7} \right)}} + {1 \over {2x + 7}} = {6 \over {{x^2} – 9}}\) ĐKXĐ: \(x \ne \pm 3\) và \(x = – {7 \over 2}\)
\(\eqalign{ & \Leftrightarrow {{13\left( {x + 3} \right)} \over {\left( {{x^2} – 9} \right)\left( {2x + 7} \right)}} + {{{x^2} – 9} \over {\left( {{x^2} – 9} \right)\left( {2x + 7} \right)}} = {{6\left( {2x + 7} \right)} \over {\left( {{x^2} – 9} \right)\left( {2x + 7} \right)}} \cr & \Leftrightarrow 13\left( {x + 3} \right) + {x^2} – 9 = 6\left( {2x + 7} \right) \cr & \Leftrightarrow 13x + 39 + {x^2} – 9 = 12x + 42 \cr & \Leftrightarrow {x^2} + x – 12 = 0 \cr & \Leftrightarrow {x^2} – 3x + 4x – 12 = 0 \cr & \Leftrightarrow x\left( {x – 3} \right) + 4\left( {x – 3} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {x + 4} \right)\left( {x – 3} \right) = 0 \cr} \)
\( \Leftrightarrow x + 4 = 0\) hoặc \(x – 3 = 0\)
+ \(x + 4 = 0 \Leftrightarrow x = – 4\) (thỏa mãn)
Advertisements (Quảng cáo)
+ \(x – 3 = 0 \Leftrightarrow x = 3\) (loại)
Vậy phương trình có nghiệm x = -4
Câu 42: Cho phương trình ẩn:
\({{x + a} \over {a – x}} + {{x – a} \over {a + x}} = {{a\left( {3a + 1} \right)} \over {{a^2} – {x^2}}}\)
a. Giải phương trình với a = -3
b. Giải phương trình với a = 1
c. Giải phương trình với a = 0
d. Tìm các giá trị của a sao cho phương trình nhận \(x = {1 \over 2}\) làm nghiệm.
a. Khi a = -3, ta có phương trình:
\({{x – 3} \over { – 3 – x}} + {{x + 3} \over { – 3 + x}} = {{ – 3\left[ {3\left( { – 3} \right) + 1} \right]} \over {{{\left( { – 3} \right)}^2} – {x^2}}}\) ĐKXĐ: \(x \ne \pm 3\)
\(\eqalign{ & \Leftrightarrow {{3 – x} \over {x + 3}} + {{x + 3} \over {x – 3}} = {{24} \over {9 – {x^2}}} \cr & \Leftrightarrow {{3 – x} \over {x + 3}} – {{x + 3} \over {x – 3}} = – {{24} \over {{x^2} – 9}} \cr & \Leftrightarrow {{\left( {3 – x} \right)\left( {x – 3} \right)} \over {{x^2} – 9}} – {{\left( {x + 3} \right)\left( {x + 3} \right)} \over {{x^2} – 9}} = – {{24} \over {{x^2} – 9}} \cr & \Leftrightarrow \left( {3 – x} \right)\left( {x – 3} \right) – {\left( {x + 3} \right)^3} = – 24 \cr & \Leftrightarrow 3x – 9 – {x^2} + 3x + {x^2} + 6x + 9 = – 24 \cr & \Leftrightarrow 12x = – 24 \cr} \)
\( \Leftrightarrow x = – 2\) (thỏa)
Vậy phương trình có nghiệm x = -2
b. Khi a = 1, ta có phương trình:
\({{x + 1} \over {1 – x}} + {{x – 1} \over {1 + x}} = {{1\left( {3.1 + 1} \right)} \over {{1^2} – {x^2}}}\) ĐKXĐ: \(x \ne \pm 1\)
\(\eqalign{ & \Leftrightarrow {{x + 1} \over {1 – x}} + {{x – 1} \over {1 + x}} = {4 \over {1 – {x^2}}} \cr & \Leftrightarrow {{{{\left( {x + 1} \right)}^2}} \over {1 – {x^2}}} + {{\left( {x – 1} \right)\left( {1 – x} \right)} \over {1 – {x^2}}} = {4 \over {1 – {x^2}}} \cr & \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} + \left( {x – 1} \right)\left( {1 – x} \right) = 4 \cr & \Leftrightarrow {x^2} + 2x + 1 + x – {x^2} – 1 + x = 4 \cr & \Leftrightarrow 4x = 4 \cr} \)
\( \Leftrightarrow x = 1\) (loại)
Advertisements (Quảng cáo)
Vậy phương trình vô nghiệm.
c. Khi a = 0, ta có phương trình: \({x \over { – x}} + {x \over x} = {0 \over {{x^2}}}\)
ĐKXĐ: \(x \ne 0\)
\(\eqalign{ & \Leftrightarrow {{ – {x^2}} \over {{x^2}}} + {{{x^2}} \over {{x^2}}} = {0 \over {{x^2}}} \cr & \Leftrightarrow – {x^2} + {x^2} = 0 \Leftrightarrow 0x = 0 \cr} \)
Phương trình có nghiệm đúng với mọi giá trị của \(x \ne 0\)
Vậy phương trình có nghiệm \(x \in R/x \ne 0\)
d. Thay \(x = {1 \over 2}\) vào phương trình, ta có:
\({{{1 \over 2} + a} \over {a – {1 \over 2}}} + {{{1 \over 2} – a} \over {a + {1 \over 2}}} = {{a\left( {3a + 1} \right)} \over {{a^2} – {{\left( {{1 \over 2}} \right)}^2}}}\) ĐKXĐ: \(x \ne \pm {1 \over 2}\)
\(\eqalign{ & \Leftrightarrow {{{1 \over 2} + a} \over {a – {1 \over 2}}} + {{{1 \over 2} – a} \over {a + {1 \over 2}}} = {{a\left( {3a + 1} \right)} \over {{a^2} – {1 \over 4}}} \cr & \Leftrightarrow {{1 + 2a} \over {2a – 1}} + {{1 – 2a} \over {2a + 1}} = {{4a\left( {3a + 1} \right)} \over {4{a^2} – 1}} \cr & \Leftrightarrow {{\left( {1 + 2a} \right)\left( {2a + 1} \right)} \over {4{a^2} – 1}} + {{\left( {1 – 2a} \right)\left( {2a – 1} \right)} \over {4{a^2} – 1}} = {{4a\left( {3a + 1} \right)} \over {4{a^2} – 1}} \cr & \Leftrightarrow \left( {1 + 2a} \right)\left( {2a + 1} \right) + \left( {1 – 2a} \right)\left( {2a – 1} \right) = 4a\left( {3a + 1} \right) \cr & \Leftrightarrow 2a + 1 + 4{a^2} + 2a + 2a – 1 – 4{a^2} + 2a = 12{a^2} + 4a \cr & \Leftrightarrow 12{a^2} – 4a = 0 \cr & \Leftrightarrow 4a\left( {3a – 1} \right) = 0 \cr} \)
\( \Leftrightarrow 4a = 0\) hoặc \(3a – 1 = 0\)
\( \Leftrightarrow a = 0\) (thỏa) hoặc \(a = {1 \over 3}\) (thỏa)
Vậy khi a = 0 hoặc \(a = {1 \over 3}\) thì phương trình \({{x + a} \over {a – x}} + {{x – a} \over {a + x}} = {{a\left( {3a + 1} \right)} \over {{a^2} – {x^2}}}\) nhận \(x = {1 \over 2}\) làm nghiệm.
Câu 5.1*: Giải các phương trình
a. \({2 \over {x + {1 \over {1 + {{x + 1} \over {x – 2}}}}}} = {6 \over {3x – 1}}\)
b. \({{{{x + 1} \over {x – 1}} – {{x – 1} \over {x + 1}}} \over {1 + {{x + 1} \over {x – 1}}}} = {{x – 1} \over {2\left( {x + 1} \right)}}\)
c. \({5 \over x} + {4 \over {x + 1}} = {3 \over {x + 2}} + {2 \over {x + 3}}\)
a. Ta có: \(x + {1 \over {1 + {{x + 1} \over {x – 2}}}} = x + {{x – 2} \over {2x – 1}} = {{2\left( {{x^2} – 1} \right)} \over {2x – 1}}\)
ĐKXĐ của phương trình là \(x \ne 2,x \ne {1 \over 2},x \ne \pm 1,x \ne {1 \over 3}\). Ta biến đổi phương trình đã cho thành
\({{2x – 1} \over {{x^2} – 1}} = {6 \over {3x – 1}}\). Khử mẫu và rút gọn:
\(\eqalign{ & \left( {2x – 1} \right)\left( {3x – 1} \right) = 6\left( {{x^2} – 1} \right) \cr & \Leftrightarrow – 5x + 1 = – 6 \cr & \Leftrightarrow x = {7 \over 5} \cr} \)
Giá trị \(x = {7 \over 5}\) thỏa mãn ĐKXĐ. Vậy phương trình có nghiệm là \(x = {7 \over 5}\)
b. Cách 1. ĐKXĐ: \(x \ne \pm 1\). Biến đổi vế trái thành \({{4x} \over {{x^2} – 1}}.{{x – 1} \over {2x}} = {2 \over {x + 1}}\), ta đưa phương trình đã cho về dạng \({2 \over {x + 1}} = {{x – 1} \over {2\left( {x + 1} \right)}}\).
Giải phương trình này bằng cách khử mẫu:
\(\eqalign{ & 4\left( {x + 1} \right) = \left( {x – 1} \right)\left( {x + 1} \right) \cr & \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x – 5} \right) = 0 \cr} \)
\( \Leftrightarrow x = – 1\) hoặc \(x = 5\)
Trong hai giá trị vừa tìm được, chỉ có x = 5 là thỏa mãn ĐKXĐ. Vậy phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất x = 5.
Cách 2. Đặt \({{x + 1} \over {x – 1}} = y\), ta có phương trình \({{y – {1 \over y}} \over {1 + y}} = {1 \over {2y}}\). ĐKXĐ của phương trình này là \(y \ne 0\) và \(y \ne – 1\). Giải phương trình này bằng cách khử mẫu:
\(\eqalign{ & 2{y^2} – 2 = 1 + y \cr & \Leftrightarrow 2\left( {{y^2} – 1} \right) – \left( {y + 1} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {y + 1} \right)\left( {2y – 3} \right) = 0 \cr} \)
\( \Leftrightarrow y = – 1\) hoặc \(y = {3 \over 2}\)
Trong hai giá trị tìm được, chỉ có \(y = {3 \over 2}\) là thỏa mãn ĐKXĐ
Vậy phương trình đã cho tương đương với phương trình \({{x + 1} \over {x – 1}} = {3 \over 2}\)
Giải phương trình này ta được x = 5
c. ĐKXĐ: \(x \in \left\{ {0; – 1; – 2; – 3} \right\}\). Ta biến đổi phương trình như sau:
\(\eqalign{ & {5 \over x} + {2 \over {x + 3}} = {4 \over {x + 1}} + {3 \over {x + 2}} \cr & \Leftrightarrow \left( {{5 \over x} + 1} \right) + \left( {{2 \over {x + 3}} + 1} \right) = \left( {{4 \over {x + 1}} + 1} \right) + \left( {{3 \over {x + 2}} + 1} \right) \cr & \Leftrightarrow {{5 + x} \over x} + {{5 + x} \over {x + 3}} = {{5 + x} \over {x + 1}} + {{5 + x} \over {x + 2}} \cr & \Leftrightarrow \left( {5 + x} \right)\left( {{1 \over x} + {1 \over {x + 3}} – {1 \over {x + 1}} – {1 \over {x + 2}}} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow 5 + x = 0(1) \cr} \)
hoặc \({1 \over x} + {1 \over {x + 3}} – {1 \over {x + 1}} – {1 \over {x + 2}} = 0\) (2)
Ta có:
(1) \( \Leftrightarrow x = – 5\)
(2) \(\eqalign{ & \Leftrightarrow {1 \over x} + {1 \over {x + 3}} = {1 \over {x + 1}} + {1 \over {x + 2}} \cr & \Leftrightarrow {{2x + 3} \over {x\left( {x + 3} \right)}} = {{2x + 3} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}} \cr & \Leftrightarrow \left( {2x + 3} \right)\left( {{1 \over {{x^2} + 3x}} – {1 \over {{x^2} + 3x + 2}}} \right) = 0 \cr} \)
\( \Leftrightarrow 2x + 3 = 0\) hoặc \({1 \over {{x^2} + 3x}} – {1 \over {{x^2} + 3x + 2}} = 0\)
+ \(2x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = – {3 \over 2}\)
+ \({1 \over {{x^2} + 3x}} – {1 \over {{x^2} + 3x + 2}} = 0\). Dễ thấy phương trình này vô nghiệm.
Tóm lại, phương trình đã cho có tập nghiệm là S = \(\left\{ { – 5; – {3 \over 2}} \right\}\)
