Câu 25: Giải các phương trình sau:
a. \({{2x} \over 3} + {{2x – 1} \over 6} = 4 – {x \over 3}\)
b.\({{x – 1} \over 2} + {{x – 1} \over 4} = 1 – {{2\left( {x – 1} \right)} \over 3}\)
c. \({{2 – x} \over {2001}} – 1 = {{1 – x} \over {2002}} – {x \over {2003}}\)
a. \({{2x} \over 3} + {{2x – 1} \over 6} = 4 – {x \over 3}\)
\( \Leftrightarrow 2.2x + 2x – 1 = 4.6 – 2x\)
\(\eqalign{ & \Leftrightarrow 4x + 2x – 1 = 24 – 2x \Leftrightarrow 6x + 2x = 24 + 1 \cr & \Leftrightarrow 8x = 25 \Leftrightarrow x = {{25} \over 8} \cr} \)
Phương trình có nghiệm $x = {{25} \over 8}\)
b. \({{x – 1} \over 2} + {{x – 1} \over 4} = 1 – {{2\left( {x – 1} \right)} \over 3}\)
\( \Leftrightarrow {{x – 1} \over 2} + {{x – 1} \over 4} = 1 – {{2x – 2} \over 3}\)
\(\eqalign{ & \Leftrightarrow 6\left( {x – 1} \right) + 3\left( {x – 1} \right) = 12 – 4\left( {2x – 2} \right) \cr & \Leftrightarrow 6x – 6 + 3x – 3 = 12 – 8x + 8 \cr & \Leftrightarrow 6x + 3x + 8x = 12 + 8 + 6 + 3 \cr & \Leftrightarrow 17x = 29 \Leftrightarrow x = {{29} \over {17}} \cr} \)
Phương trình có nghiệm $x = {{29} \over {17}}\)
c. \({{2 – x} \over {2001}} – 1 = {{1 – x} \over {2002}} – {x \over {2003}}\)
\( \Leftrightarrow {{2 – x} \over {2001}} – 1 + 2 = {{1 – x} \over {2002}} + 1 + 1 – {x \over {2003}}\)
\(\eqalign{ & \Leftrightarrow {{2 – x} \over {2001}} + 1 = \left( {{{1 – x} \over {2002}} + 1} \right) + \left( {1 – {x \over {2003}}} \right) \cr & \Leftrightarrow {{2003 – x} \over {2001}} = {{2003 – x} \over {2002}} + {{2003 – x} \over {2003}} \cr & \Leftrightarrow {{2003 – x} \over {2001}} – {{2003 – x} \over {2002}} – {{2003 – x} \over {2003}} = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {2003 – x} \right)\left( {{1 \over {2001}} – {1 \over {2002}} – {1 \over {2003}}} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow 2003 – x = 0 \Leftrightarrow x = 2003 \cr} \)
Phương trình có nghiệm x = 2003.
Advertisements (Quảng cáo)
Câu 3.1: Cho hai phương trình:
\({{7x} \over 8} – 5\left( {x – 9} \right) = {1 \over 6}\left( {20x + 1,5} \right)\) (1)
\(2\left( {a – 1} \right)x – a\left( {x – 1} \right) = 2a + 3\) (2)
a. Chứng tỏ rằng phương trình (1) có nghiệm duy nhất, tìm nghiệm đó
b. Giải phương trình (2) khi a = 2
c. Tìm giá trị của a để phương trình (2) có một nghiệm bằng một phần ba nghiệm của phương trình (1).
a. Nhân hai vế của phương trình (1) với 24, ta được:
\(\eqalign{ & {{7x} \over 8} – 5\left( {x – 9} \right) \Leftrightarrow {1 \over 6}\left( {20x + 1,5} \right) \cr & \Leftrightarrow 21x – 120\left( {x – 9} \right) = 4\left( {20x + 1,5} \right) \cr & \Leftrightarrow 21x – 120x – 80x = 6 – 1080 \cr & \Leftrightarrow – 179x = – 1074 \cr & \Leftrightarrow x = 6 \cr} \)
Vậy phương trình (1) có một nghiệm duy nhất x = 6.
b. Ta có:
Advertisements (Quảng cáo)
\(\eqalign{ & 2\left( {a – 1} \right)x – a\left( {x – 1} \right) = 2a + 3 \cr & \Leftrightarrow \left( {a – 2} \right)x = a + 3 \cr} \) (3)
Do đó, khi a = 2, phương trình (2) tương đương với phương trình 0x = 5.
Phương trình này vô nghiệm nên phương trình (2) vô nghiệm.
c. Theo điều kiện của bài toán, nghiệm của phương trình (2) bằng một phần ba nghiệm của phương trình (1) nên nghiệm đó bằng 2. Do (3) nên phương trình (2) có nghiệm x = 2 cũng có nghĩa là phương trình \(\left( {a – 2} \right)2 = a + 3\) có nghiệm x = 2. Thay giá trị x = 2 vào phương trình này, ta được\(\left( {a – 2} \right)2 = a + 3\). Ta coi đây là phương trình mới đối với ẩn a. Giải phương trình mới này:
\(\left( {a – 2} \right)2 = a + 3 \Leftrightarrow a = 7\)
Khi a = 7, dễ thử thấy rằng phương trình \(\left( {a – 2} \right)x = a + 3\) có nghiệm x = 2, nên phương trình (2) cũng có nghiệm x = 2.
Câu 3.2: Bằng cách đặt ẩn phụ theo hướng dẫn, giải các phương trình sau:
a. \({{6\left( {16x + 3} \right)} \over 7} – 8 = {{3\left( {16x + 3} \right)} \over 7}\)
Đặt u\( = {{16x + 3} \over 7}\)
b. \(\left( {\sqrt 2 + 2} \right)\left( {x\sqrt 2 – 1} \right) = 2x\sqrt 2 – \sqrt 2 \)
Đặt u
c. \(0,05\left( {{{2x – 2} \over {2009}} + {{2x} \over {2010}} + {{2x + 2} \over {2011}}} \right) = 3,3 – \left( {{{x – 1} \over {2009}} + {x \over {2010}} + {{x + 1} \over {2011}}} \right)\)
Đặt u \( = {{x – 1} \over {2009}} + {x \over {2010}} + {{x + 1} \over {2011}}\)
a. Đặt u \( = {{16x + 3} \over 7}\), ta có phương trình 6u – 8 = 3u + 7. Giải phương trình này:
6u – 8 = 3u + 7 ⇔ 6u – 3u = 7 + 8 ⇔ 3u = 15 ⇔ u = 5
Vậy \({{6\left( {16x + 3} \right)} \over 7} – 8 = {{3\left( {16x + 3} \right)} \over 7} + 7\)
\(\eqalign{ & \Leftrightarrow {{16x + 3} \over 7} = 5 \Leftrightarrow 16x + 3 = 35 \cr & \Leftrightarrow 16x = 32 \Leftrightarrow x = 2 \cr} \)
b. Nếu đặt u \( = x\sqrt 2 – 1\) thì \(x\sqrt 2 = u + 1\) nên phương trình có dạng
\(\left( {\sqrt 2 + 2} \right)u = 2\left( {u + 1} \right) – \sqrt 2 \) (1)
Ta giải phương trình (1):
(1) \( \Leftrightarrow \sqrt 2 u + 2u = 2u + 2 – \sqrt 2 \)
\(\eqalign{ & \Leftrightarrow \sqrt 2 u = 2 – \sqrt 2 \cr & \Leftrightarrow \sqrt 2 u = \sqrt 2 \left( {\sqrt 2 – 1} \right) \Leftrightarrow u = \sqrt 2 – 1 \cr} \)
Vậy \(\eqalign{ & \left( {\sqrt 2 + 2} \right)\left( {x\sqrt 2 – 1} \right) = 2x\sqrt 2 – \sqrt 2 \cr & \Leftrightarrow x\sqrt 2 – 1 = \sqrt 2 – 1 \cr & \Leftrightarrow x\sqrt 2 = \sqrt 2 \cr & \Leftrightarrow x = 1 \cr} \)
c. Nếu đặt u \( = {{x – 1} \over {2009}} + {x \over {2010}} + {{x + 1} \over {2011}}\) thì \({{2x – 2} \over {2009}} + {{2x} \over {2010}} + {{2x + 2} \over {2011}} = 2u\) nên phương trình đã cho có dạng \(0,05.2u = 3,3 – u\), hay \(0,1u = 3,3 – u\). Dễ thấy phương trình này có một nghiệm duy nhất u = 3. Do đó
\(\eqalign{ & 0,05\left( {{{2x – 2} \over {2009}} + {{2x} \over {2010}} + {{2x + 2} \over {2011}}} \right) \cr & = 3,3\left( {{{x – 1} \over {2009}} + {x \over {2010}} + {{x + 1} \over {2011}}} \right) \cr & \Leftrightarrow {{x – 1} \over {2009}} + {x \over {2010}} + {{x + 1} \over {2011}} = 3 \cr & \Leftrightarrow \left( {{{x – 1} \over {2009}} – 1} \right) + \left( {{x \over {2010}} – 1} \right) + \left( {{{x + 1} \over {2011}} – 1} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow {{x – 2010} \over {2009}} + {{x – 2010} \over {2010}} + {{x – 2010} \over {2011}} = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {x – 2010} \right)\left( {{1 \over {2009}} + {1 \over {2010}} + {1 \over {2011}}} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow x = 2010 \cr} \)
