Câu 100: Cho hình bình hành ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo. Qua O, vẽ đường thẳng cắt hai cạnh AB, CD ở E, F. Qua O vẽ đường thẳng cắt hai cạnh AD, BC ở G, H. Chứng minh rằng EGFH là hình bình hành.
Xét ∆ OAE và ∆ OCF:
OA = OC (tính chất hình bình hành)
\(\widehat {AOE} = \widehat {COF}\) (đối đỉnh)
\(\widehat {OAE} = \widehat {OCF}\) (so le trong)
Do đó: ∆ OAE = ∆ OCF (g.c.g)
⇒ OE = OF (1)
Xét ∆ OAG và ∆ OCH:
OA = OC (tính chất hình bình hành)
\(\widehat {AOG} = \widehat {COH}\) (đối đỉnh)
\(\widehat {OAG} = \widehat {OCH}\) (so le trong)
Do đó: ∆ OAG = ∆ OCH (g.c.g)
⇒ OG = OH (2)
Advertisements (Quảng cáo)
Từ (1) và (2) suy ra: Tứ giác EGFH là hình bình hành ( vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường)
Câu 101: Cho góc xOy, điểm A nằm trong góc đó. Vẽ điểm B đối xứng với A qua Ox, vẽ điểm C đối xứng với A qua Oy.
a. Chứng minh rằng OB = OC
b. Tính số đo góc xOy để B đối xứng với C qua O.
a. Vì B đối xứng với A qua trục Ox nên Ox là đường trung trực của đoạn AB.
⇒ OA = OB (tính chất đường trung trực) (1)
Advertisements (Quảng cáo)
Vì C đối xứng với A qua trục Oy nên Oy là đường trung trực của đoạn AC.
⇒ OA = OC (tính chất đường trung trực) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: OB = OC.
b. Ta có: OB = OC do đó điểm B đối xứng với điểm C qua tâm O cần thêm điều kiện B, O, C thẳng hàng.
∆ OAB cân tại O có Ox là đường trung trực của AB nên Ox cũng là đường phân giác của \(\widehat {AOB} \Rightarrow {\widehat O_1} = {\widehat O_3}\)
∆ OAC cân tại O có Oy là đường trung trực của AC nên Oy cũng là đường phân giác của \(\widehat {AOC} \Rightarrow {\widehat O_2} = {\widehat O_4}\)
B, O, C thẳng hàng \( \Leftrightarrow {\widehat O_1} = {\widehat O_2} + {\widehat O_3} + {\widehat O_4} = {180^0}\)
\(\eqalign{& \Leftrightarrow 2{\widehat O_1} + 2{\widehat O_2} = {180^0} \cr& \Leftrightarrow {\widehat O_1} + {\widehat O_2} = {90^0} \cr& \Leftrightarrow \widehat {xOy} = {90^0} \cr} \)
Vậy \(\widehat {xOy} = {90^0}\) thì B đối xứng với C qua tâm O.
Câu 102: Cho tam giác ABC có trực tâm H. Gọi M là trung điểm của BC, K là điểm đối xứng với H qua M. Tính số đo góc ABK, ACK.
Ta có K là điểm đối xứng của H qua tâm M nên MK = MH
Xét tứ giác BHCK ta có:
BM = MC (gt)
MK = MH (chứng minh trên)
Suy ra: Tứ giác BHCK là hình bình hành (vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)
Suy ra: KB // CH, KC // BH
CH ⊥ AB (gt)
Suy ra: KB ⊥ AB nên \(\widehat {KBA} = {90^0}\)
BH ⊥ AC (gt)
Suy ra : CK ⊥ AC nên \(\widehat {KCA} = {90^0}\)
