Cho tam giác ABC trên tia đối của tia AB lấy D sao cho \(AD = AB\). Lấy G thuộc AC sao cho \(AG = \dfrac{1 }{3}AC.\) Tia DG cắt BC ở E. Qua E vẽ đường thẳng song song với BD; qua D vẽ đường thẳng song song với BC, hai đường thẳng này cắt nhau ở F. Gọi M là giao điểm của EF và CD.
Chứng minh rằng: B, G, M thẳng hàng.
Ta có \(AD = AB\) (gt) hay A là trung điểm của BD nên CA là trung tuyến của \(\Delta BCD\).
Advertisements (Quảng cáo)
Lại có \(AG = \dfrac{1 }{ 3}AC\) (gt) \( \Rightarrow \) G là trọng tâm của \(\Delta BCD\), mà DG cắt BC tại E.
Do đó E là trung điểm của BC.
Lại có EF // BD (gt) \( \Rightarrow {\widehat D_1} = {\widehat E_1}\) (so le trong).
Mặt khác DF // BC (gt)
Advertisements (Quảng cáo)
\( \Rightarrow \widehat {FDE} = \widehat {BED}\) (so le trong).
Do đó \(\Delta BED = \Delta FDE\) (g.c.g) \( \Rightarrow BE = DF,\) mà \(BE = EC\) (cmt) \( \Rightarrow EC = DF.\)
Xét \(\Delta DMF\) và \(\Delta CME\) có
+) \(\widehat F = {\widehat F_2}\) (so le trong do DF// BC);
+) \({\widehat D_3} = \widehat {EC{\rm{D}}}\) (so le trong).
Do đó \(\Delta DNF = \Delta CME\) (g.c.g)
\( \Rightarrow M{\rm{D}} = MC\) (cạnh tương ứng) hay BM là trung tuyến của \(\Delta BC{\rm{D}}\).
Do đó BM phải đi qua trọng tâm G hay B, G, M thẳng hàng.
