Câu 3.30: Tính diện tích các hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a) \(y = x – 1 + {{\ln x} \over x},y = x – 1\) và x = e;
b) y = x3 – x2 và \(y = {1 \over 9}(x – 1)\);
c) \(y = 1 – \sqrt {1 – {x^2}} \) và y = x2
a) \({1 \over 2}\)
b) \({8 \over {81}}\) . HD: Đường thẳng \(y = {1 \over 9}(x – 1)\) đi qua tâm đối xứng \(I({1 \over 3}; – {2 \over {27}})\) của hàm số y = x3 – x2 .
Do đó, hình phẳng giới hạn bởi hai đường đã cho gồm hai hình vẽ đối xứng nhau qua điểm I (hình 85).
Vậy : \(S = 2\int\limits_{ – {1 \over 3}}^{{1 \over 3}} {{\rm{[}}({x^3} – {x^2}) – {1 \over 9}(x – 1){\rm{]}}dx}\)
\( = 4\int\limits_0^{{1 \over 3}} {({1 \over 9} – {x^2})dx = {8 \over {81}}} \)
(theo bài 3.14. \(\int\limits_{ – {1 \over 3}}^{{1 \over 3}} {({x^3} – {1 \over 9}x)dx = 0} \))
Advertisements (Quảng cáo)
c) \({\pi \over 2} – {4 \over 3}\)
Câu 3.31: Tính thể tích các khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng xác định bởi
a) \(y = {x^{{2 \over 3}}},x = 0\) và tiếp tuyến với đường \(y = {x^{{2 \over 3}}}\) tại điểm có hoành độ x = 1, quanh trục Oy;
b) \(y = {1 \over x} – 1,y = 0,y = 2x\), quanh trục Ox
c) y = |2x – x2|, y = 0 và x = 3 , quanh :
* Trục Ox
* Trục Oy
Advertisements (Quảng cáo)
a) \({\pi \over {36}}\) .
Phương trình tiếp tuyến là: \(y = {2 \over 3}x + {1 \over 3}\)
\(V = \pi \int\limits_0^1 {{y^3}dy} – \pi \int\limits_{{1 \over 3}}^1 {{{({3 \over 2}y – {1 \over 2})}^2}dy}\)
\(= {\pi \over 4} – {{2\pi } \over 9}{({3 \over 2}y – {1 \over 2})^3}\left| {\matrix{1 \cr {{1 \over 3}} \cr} = {\pi \over {36}}} \right.\)
b) \(\pi ({5 \over 3} – 2\ln 2)\)
c) \({V_x} = {{18} \over 5}\pi \) và \({V_y} = {{59} \over 6}\pi \)
\({V_y} = \pi {\rm{\{ }}\int\limits_0^1 {{\rm{[(}}1 + \sqrt {1 – y} {)^2} – {{(1 – \sqrt {1 – y} )}^2}{\rm{]}}} dy + \int\limits_0^3 {{\rm{[}}9 – {{(1 + \sqrt {1 + y} )}^2}{\rm{]}}dy\} } \)
\( = \pi {\rm{[}}\int\limits_0^1 {4\sqrt {1 – y} dy + \int\limits_0^3 {(7 – y – 2\sqrt {1 + y} )dy] = {{59\pi } \over 6}} } \)
Câu 3.32: Hãy chỉ ra các kết quả đúng trong các kết quả sau:
a) \((\int\limits_0^1 {{x^n}{{(1 – x)}^m}dx = \int\limits_0^1 {{x^m}{{(1 – x)}^n}} } dx;m,n \in {N^*}\)
b) \(\int\limits_{ – 1}^1 {{{{t^2}} \over {{e^t} + 1}}} dt = \int\limits_0^1 {{t^2}dt} \)
c) \(\int\limits_0^1 {{{\sin }^3}x\cos xdx = } \int\limits_0^1 {{t^3}} dt\)
a) Đúng
b) Ta có: \(\int\limits_{ – 1}^1 {{{{t^2}dt} \over {{e^t} + 1}}} = \int\limits_{ – 1}^0 {{{{t^2}dt} \over {{e^t} + 1}}} + \int\limits_0^{ – 1} {{{{t^2}dt} \over {{e^t} + 1}}} \) (*)
Dùng phương pháp đổi biến t = – x đối với tích phân \(\int\limits_{ – 1}^0 {{{{t^2}dt} \over {{e^t} + 1}}} \) , ta được:
\(\int\limits_{ – 1}^0 {{{{t^2}dt} \over {{e^t} + 1}}} = \int\limits_0^1 {{{{x^2}dx} \over {{e^{ – x}} + 1}} = \int\limits_0^1 {{{{t^2}dt} \over {{e^{ – t}} + 1}}} } \)
Thay vào (*) ta có: \(\int\limits_{ – 1}^1 {{{{t^2}dt} \over {{e^t} + 1}} = \int\limits_0^1 {{t^2}dt} } \)
c) Sai.
