Bài 2.55: Giải các bất phương trình mũ sau:
a) \({(8,4)^{\frac{{x – 3}}{{{x^2} + 1}}}} < 1\)
b) \({2^{|x – 2|}} > {4^{|x + 1|}}\)
c) \(\frac{{{4^x} – {2^{x + 1}} + 8}}{{{2^{1 – x}}}} < {8^x}\)
d) \(\frac{1}{{{3^x} + 5}} \le \frac{1}{{{3^{x + 1}} – 1}}\)
a) \(8,{4^{\frac{{x – 3}}{{{x^2} + 1}}}} < 8,{4^0} \Leftrightarrow \frac{{x – 3}}{{{x^2} + 1}} < 0 \Leftrightarrow x < 3\)
b) \(\eqalign{
& {2^{|x – 2|}} > {2^{2|x + 1|}} \Leftrightarrow |x – 2| > 2|x + 1| \cr
& \Leftrightarrow {x^2} – 4x + 4 > 4({x^2} + 2x + 1) \cr
& \Leftrightarrow 3{x^2} + 12x < 0 \cr
& \Leftrightarrow – 4 < x < 0 \cr} \)
c) \(\eqalign{
& {2^{2x}} – {2.2^x} + 8 < {2^{3x}}{.2^{1 – x}} \cr
& \Leftrightarrow {2^{2x}} + {2.2^x} – 8 > 0 \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{t = {2^x},t > 0} \cr {{t^2} + 2t – 8 > 0} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{t = {2^x},t > 0} \cr {\left[ {\matrix{{t < – 4} \cr {t > 2} \cr} } \right.} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{t = {2^x}} \cr {t > 2} \cr} } \right. \Leftrightarrow x > 1 \cr} \)
d) Đặt t = 3x (t > 0) , ta có bất phương trình \(\frac{1}{{t + 5}} \le \frac{1}{{3t – 1}}\)
Vì vế trái dương nên vế phải cũng phải dương, tức là \(3t – 1 > 0\).
Từ đó ta có hệ:
\(\left\{ {\matrix{{3t – 1 \le t + 5} \cr {3t – 1 > 0} \cr} } \right. \Leftrightarrow {1 \over 3} < t \le 3\)
Do đó \(\frac{1}{3} < {3^x} \le 3\) . Vậy \( – 1 < x \le 1\) .
Bài 2.56: Giải các bất phương trình logarit sau:
a) \(\frac{{\ln x + 2}}{{\ln x – 1}} < 0\)
b) \(\log _{0,2}^2x – {\log _{0,2}}x – 6 \le 0\)
c) \(\log ({x^2} – x – 2) < 2\log (3 – x)\)
Advertisements (Quảng cáo)
d) \(\ln |x – 2| + \ln |x + 4| \le 3\ln 2\)
a) \(\frac{1}{{{e^2}}} < x < e\)
b) \({(0,2)^3} \le x \le 25\)
c) Bất phương trình đã cho tương đương với hệ:
\(\left\{ {\matrix{{{x^2} – x – 2 > 0} \cr {3 – x > 0} \cr {{x^2} – x – 2 < {{(3 – x)}^2}} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{\left[ {\matrix{{x < – 1} \cr {x > 2} \cr} } \right.} \cr {x < 3} \cr {x < {{11} \over 5}} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x < – 1} \cr {2 < x < {{11} \over 5}} \cr} } \right.\)
Vậy tập nghiệm là \(( – \infty ; – 1) \cup (2;\frac{{11}}{5})\)
d) \(\eqalign{& \ln |(x – 2)(x + 4)| \le \ln 8 \cr & \Leftrightarrow |{x^2} + 2x – 8| \le 8 \cr & \Leftrightarrow – 8 \le {x^2} + 2x – 8 \le 8 \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{{x^2} + 2x \ge 0} \cr {{x^2} + 2x – 16 \le 0} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{\left[ {\matrix{{x \le – 2} \cr {x \ge 0} \cr} } \right.} \cr { – 1 – \sqrt {17} \le x \le – 1 + \sqrt {17} } \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{ – 1 – \sqrt {17} \le x \le – 2} \cr {0 \le x \le – 1 + \sqrt {17} } \cr} } \right. \cr}\)
Vậy tập nghiệm là \({\rm{[}} – 1 – \sqrt {17} ; – 2] \cup {\rm{[}}0; – 1 + \sqrt {17} {\rm{]}}\)
Bài 2.57: Giải các bất phương trình sau:
Advertisements (Quảng cáo)
a) \((2x – 7)\ln (x + 1) > 0\)
b) \((2x – 7)\ln (x + 1) > 0\)
c) \(2\log _2^3x + 5\log _2^2x + {\log _2}x – 2 \ge 0\)
d) \(\ln (3{e^x} – 2) \le 2x\)
a) Bất phương trình đã cho tương đương với hệ sau:
\(\eqalign{& \left[ {\matrix{{\left\{ {\matrix{{2x – 7 > 0} \cr {\ln (x + 1) > 0} \cr} } \right.} \cr {\left\{ {\matrix{{2x – 7 < 0} \cr {\ln (x + 1) < 0} \cr} } \right.} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{\left\{ {\matrix{{x > {7 \over 2}} \cr {x + 1 > 1} \cr} } \right.} \cr {\left\{ {\matrix{{x < {7 \over 2}} \cr {0 < x + 1 < 1} \cr} } \right.} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x > {7 \over 2}} \cr {\left\{ {\matrix{{x < {7 \over 2}} \cr { – 1 < x < 0} \cr} } \right.} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x > {7 \over 2}} \cr { – 1 < x < 0} \cr} } \right. \cr}\)
Vậy tập nghiệm là \(( – 1;0) \cup (\frac{7}{2}; + \infty )\)
b) Tươngg tự câu a), tập nghiệm là \((\frac{1}{{10}};5)\)
c) Đặt \(t = {\log _2}x\) , ta có bất phương trình \(2{t^3} + 5{t^2} + t – 2 \ge 0\)
hay \((t + 2)(2{t^2} + t – 1) \ge 0\) có nghiệm \( – 2 \le t \le – 1\) hoặc \(t \ge \frac{1}{2}\)
Suy ra \(\frac{1}{4} \le x \le \frac{1}{2}\) hoặc \(x \ge \sqrt 2 \)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: \({\rm{[}}\frac{1}{4};\frac{1}{2}{\rm{]}} \cup {\rm{[}}\sqrt 2 ; + \infty )\)
d) Bất phương trình đã cho tương đương với hệ:
\(\eqalign{& \left\{ {\matrix{{3{e^x} – 2 > 0} \cr {\ln (3{e^x} – 2) \le \ln {e^{2x}}} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{{e^x} > {2 \over 3}} \cr {{e^{2x}} – 3{e^x} + 2 \ge 0} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{{e^x} > {2 \over 3}} \cr {\left[ {\matrix{{{e^x} \le 1} \cr {{e^x} \ge 2} \cr} } \right.} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{{e^x} \ge 2} \cr {{2 \over 3} < {e^x} \le 1} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x \ge \ln 2} \cr {\ln {2 \over 3} < x \le 0} \cr} } \right. \cr} \)
Vậy tập nghiệm là \((\ln \frac{2}{3};0] \cup {\rm{[}}\ln 2; + \infty )\)
Bài 2.58: Tìm số tự nhiên n bé nhất sao cho:
a) \({(\frac{1}{2})^n} \le {10^{ – 9}}\)
b) \(3 – {(\frac{7}{5})^n} \le 0\)
c) \(1 – {(\frac{4}{5})^n} \ge 0,97\)
d) \({(1 + \frac{5}{{100}})^n} \ge 2\)
a) \(n \ge {\log _{\frac{1}{2}}}{10^{ – 9}} \Leftrightarrow n \ge 9{\log _2}10 \approx 29,897\)
Vì n là số tự nhiên bé nhất nên n = 30.
b) n = 4
c) n = 16
d) n = 15
