Trang Chủ Sách bài tập lớp 12 SBT Toán 12

Bài 1.28, 1.29, 1.30, 1.31 trang 22 SBT Giải tích 12: Chứng minh rằng mỗi đỉnh của một hình đa diện là đỉnh chung của ít nhất ba cạnh ?

Đề toán tổng hợp chương I- Khối đa diện SBT Toán lớp 12. Giải bài 1.28, 1.29, 1.30, 1.31 trang 22 Sách bài tập Giải tích 12. Hình được tạo thành từ hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ khi ta bỏ đi các điểm trong của mặt phẳng (ABCD) có phải là một hình đa diện không ?; Chứng minh rằng mỗi đỉnh của một hình đa diện là đỉnh chung của ít nhất ba cạnh ?

Bài 1.28: Hình được tạo thành từ hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ khi ta bỏ đi các điểm trong của mặt phẳng (ABCD) có phải là một hình đa diện không?

Không phải là hình đa diện, vì trong hình đó có cạnh (chẳng hạn AB) không phải là cạnh chung của đúng hai đa giác.

Bài 1.29: Chứng minh rằng mỗi đỉnh của một hình đa diện là đỉnh chung của ít nhất ba cạnh.

Lấy một đỉnh B tùy ý của hình đa diện (H). Gọi M1 là một mặt của hình đa diện (H) chứa B. Gọi A, B, C là ba đỉnh liên tiếp của M1. Khi đó AB, BC là hai cạnh của (H). Gọi M2 là mặt khác với M1 và có chung cạnh AB với M1. Khi đó M2 còn có ít nhất một đỉnh D sao cho A, B, D là ba đỉnh khác nhau liên tiếp của M2. Nếu  \(D \equiv C\)  thì M1 và M2 có hai cạnh chung AB và BC, điều này vô lí.  Vậy  D phải khác C. Do đó qua đỉnh B có ít nhất ba cạnh BA, BC và BD.

Advertisements (Quảng cáo)

Bài 1.30: Cho hình lăng trị ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông cân ở C. Cạnh B’B = a và tạo với đáy một góc bằng 600. Hình chiếu vuông góc hạ từ B’ lên đáy trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Tính thể tích khối lăng trụ đó theo a.

Advertisements (Quảng cáo)

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, khi đó  \(\widehat {B’BG} = {60^0},B’G = {{a\sqrt 3 } \over 2},BG = {a \over 2}\)

Gọi D là trung điểm của AC, khi đó \(BD = {{3a} \over 4}\) .

Ta có   BC2 + CD2 = BD2  , do đó \(B{C^2} + {{B{C^2}} \over 4} = {{5B{C^2}} \over 4} = {{9{a^2}} \over {16}}\)

Suy ra  \(B{C^2} = {9 \over {20}}{a^2},{S_{ABC}} = {{B{C^2}} \over 2} = {9 \over {40}}{a^2}\)

          \({V_{ABC.A’B’C’}} = {{a\sqrt 3 } \over 2}.{{9{a^2}} \over {40}} = {{9\sqrt 3 } \over {80}}{a^3}\)

Bài 1.31: Tính thể tích khối lăng trụ có chiều cao bằng h, đáy là ngũ giác đều nội tiếp trong một đường tròn bán kính r.

Chia đáy của hình lăng trụ đã cho thành năm tam giác cân có chung đỉnh O là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy. Khi đó diện tích đáy bằng \({5 \over 2}{r^2}\sin {72^0}\)  . Do đó thể tích lăng trụ đó bằng  \({5 \over 2}h{r^2}\sin {72^0}\).

Advertisements (Quảng cáo)