Bài 95: Giải phương trình: \({4^x} – {3^x} = 1\)
Giải
Chia hai vế phương trình cho \({4^x}\) ta được:
\(1 – {\left( {{3 \over 4}} \right)^x} = {\left( {{1 \over 4}} \right)^x} \Leftrightarrow {\left( {{1 \over 4}} \right)^x} + {\left( {{3 \over 4}} \right)^x} = 1\)
Rõ ràng \(x = 1\) là nghiệm phương trình:
Với \(x > 1\) ta có \({\left( {{1 \over 4}} \right)^x} + {\left( {{3 \over 4}} \right)^x} < {1 \over 4} + {3 \over 4} = 1\)
Với \(x < 1\) ta có \({\left( {{1 \over 4}} \right)^x} + {\left( {{3 \over 4}} \right)^x} > {1 \over 4} + {3 \over 4} = 1\)
Vậy \(S = \left\{ 1 \right\}\)
Bài 96: Giải các hệ phương trình:
\(a)\,\left\{ \matrix{
{\log _2}\left( {x – y} \right) = 5 – {\log _2}\left( {x + y} \right) \hfill \cr
{{\log x – \log 4} \over {\log y – \log 3}} = – 1 \hfill \cr} \right.\)
\(b)\,\left\{ \matrix{
2{\log _2}x – {3^y} = 15 \hfill \cr
{3^y}.{\log _2}x = 2{\log _2}x + {3^{y + 1}} \hfill \cr} \right.\)
Giải: a) Điều kiện:
\(\left\{ \matrix{
x > 0;\,y > 0 \hfill \cr
x – y > 0;\,x + y > 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x > y > 0\)
\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
{\log _2}\left( {x – y} \right) = 5 – {\log _2}\left( {x + y} \right) \hfill \cr
{{\log x – \log 4} \over {\log y – \log 3}} = – 1 \hfill \cr} \right. \cr&\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{\log _2}\left( {x – y} \right) + {\log _2}\left( {x + y} \right) = 5 \hfill \cr
\log {x \over 4} = – \log {y \over 4} \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{\log _2}\left( {{x^2} – {y^2}} \right) = 5 \hfill \cr
\log {{xy} \over {12}} = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x^2} – {y^2} = 32 \hfill \cr
xy = 12 \hfill \cr} \right. \cr} \)
Advertisements (Quảng cáo)
Giải hệ bằng phương pháp thế ta được \(x = 6, y = 2\).
Vậy \(S = \left\{ {\left( {6;2} \right)} \right\}\)
b) Điều kiện: \(x > 0\).
Ta có nghiệm phương trình:
\(\left\{ \matrix{
2u – v = 15\,\,\,\,\left( 1 \right) \hfill \cr
u.v = 2u + 3v\,\,\,\,\left( 2 \right) \hfill \cr} \right.\)
Từ (1) suy ra \(v = 2u – 15\), thay vào (2) ta được:
\(\eqalign{
& u\left( {2u – 15} \right) = 2u + 3\left( {2u – 15} \right)\cr& \Leftrightarrow 2{u^2} – 23u + 45 = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
u = 9\,\,\,\text{ với }\,\,u = 9 \Rightarrow v = 3 \hfill \cr
u = {5 \over 2}\,\,\,\text{ với }\,\,u = {5 \over 2} \Rightarrow v = – 10\,\,\left( \text{loại} \right) \hfill \cr} \right. \cr} \)
Vậy
\(\left\{ \matrix{
u = 9 \hfill \cr
v = 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
\log _2^x = 9 \hfill \cr
{3^y} = 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = {2^5} = 512 \hfill \cr
y = 1 \hfill \cr} \right.\)
Advertisements (Quảng cáo)
Vậy \(S = \left\{ {\left( {512;1} \right)} \right\}\)
Bài 97: Giải các bát phương trình sau:
\(\eqalign{
& a)\,{{1 – {{\log }_4}x} \over {1 + {{\log }_2}x}} < {1 \over 2}\,; \cr
& c)\,{\log _{{1 \over 5}}}\left( {{x^2} – 6x + 18} \right) + 2{\log _5}\left( {x – 4} \right) < 0. \cr} \)
\(b)\,{\log _{{1 \over {\sqrt 5 }}}}\left( {{6^{x + 1}} – {{36}^x}} \right) \ge – 2;\)
Giải: a) Ta có \({\log _4}x = {1 \over 2}{\log _2}x\). Đặt \(t = {\log _2}x\)
Ta có
\(\eqalign{
& {{1 – {1 \over 2}t} \over {1 + t}} – {1 \over 2} \le 0 \Leftrightarrow {{2 – t – 1 – t} \over {2\left( {1 + t} \right)}} \le 0\cr& \Leftrightarrow {{1 – 2t} \over {1 + t}} \le 0 \cr
& \Leftrightarrow t < – 1\,\,\text{ hoặc }\,\,t \ge {1 \over 2}\cr& \Leftrightarrow {\log _2}x < – 1\,\,\text{ hoặc }\,\,{\log _2}x \ge {1 \over 2} \cr
& \Leftrightarrow 0 \le x \le {1 \over 2}\,\,\text{ hoặc }\,\,x \ge \sqrt 2 \cr} \)
Vậy \(S = \left( {0;{1 \over 2}} \right) \cup \left[ {\sqrt 2 ; + \infty } \right)\)
b) Ta có \({\log _{{1 \over {\sqrt 5 }}}}\left( {{6^{x + 1}} – {{36}^x}} \right) \ge – 2\)
\( \Leftrightarrow 0 < {6^{x + 1}} – {36^x} \le {\left( {{1 \over {\sqrt 5 }}} \right)^{ – 2}} = 5 \)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{6.6^x} – {36^x} > 0 \hfill \cr
{6.6^x} – {36^x} \le 5 \hfill \cr} \right.\)
Đặt \(t = {6^x}\,\,\left( {t > 0} \right)\). Ta có hệ:
\(\left\{ \matrix{
6t – {t^2} > 0 \hfill \cr
{t^2} – 6t + 5 \ge 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
0 < t < 6 \hfill \cr
t \le 1\,\,\text{ hoặc }\,\,t \ge 5 \hfill \cr} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
0 < t \le 1 \hfill \cr
5 \le t < 6 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{6^x} \le 1 \hfill \cr
5 \le {6^x} < 6 \hfill \cr} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
x \le 0 \hfill \cr
{\log _6}5 \le x < 1 \hfill \cr} \right.\)
Vậy \(S = \left( { – \infty ;0} \right] \cup \left[ {{{\log }_6}5;1} \right)\)
c) Điều kiện:
\(\left\{ \matrix{
{x^2} – 6x + 18 > 0 \hfill \cr
x – 4 > 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x > 4\)
\(\eqalign{
& {\log _{{1 \over 5}}}\left( {{x^2} – 6x + 18} \right) + 2{\log _5}\left( {x – 4} \right) < 0\cr& \Leftrightarrow {\log _5}{\left( {x – 4} \right)^2} < {\log _5}\left( {{x^2} – 6x + 18} \right) \cr
& \Leftrightarrow {\left( {x – 4} \right)^2} < {x^2} – 6x + 18 \Leftrightarrow x > 1 \cr} \)
Kết hợp điều kiện ta có \(x > 4\)
Vậy \(S = \left( {4; + \infty } \right)\)
