Bài 9: Từ tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên dương, chứng minh:
\(\root n \of {ab} = \root n \of a .\root n \of b \) ( \(a \ge 0,b \ge 0\), n nguyên dương)
Giải: Theo tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên dương, ta có:
\({\left( {\root n \of a .\root n \of b \,} \right)^n} = {\left( {\root n \of a } \right)^n}.{\left( {\root n \of b } \right)^n} = ab\)
Do đó theo định nghĩa căn bậc n của một số, ta có \(\root n \of {ab} = \root n \of a .\root n \of b \).
Bài 10: Chứng minh:
a) \(\sqrt {4 + 2\sqrt 3 } – \sqrt {4 – 2\sqrt 3 } = 2;\)
b) \(\root 3 \of {9 + \sqrt {80} } + \root 3 \of {9 – \sqrt {80} } = 3\)
Giải
a) Ta có \(4 \pm 2\sqrt 3 = {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} \pm 2\sqrt 3 + 1 = {\left( {\sqrt 3 \pm 1} \right)^2}\)
nên \(\sqrt {4 + 2\sqrt 3 } – \sqrt {4 – 2\sqrt 3 } \)
Advertisements (Quảng cáo)
\(= \left( {\sqrt 3 + 1} \right) – \left( {\sqrt 3 – 1} \right) = 2\)
b) Đặt \(x = \root 3 \of {9 + \sqrt {80} } + \root 3 \of {9 – \sqrt {80} } \)
Ta có \({x^3} = {\left( {\root 3 \of {9 + \sqrt {80} } + \root 3 \of {9 – \sqrt {80} } } \right)^3}\)
\( = 9 + \sqrt {80} + 9 – \sqrt {80} + 3\root 3 \of {9 + \sqrt {80} } .\root 3 \of {9 – \sqrt {80} } .x\)
\( = 18 + 3\root 3 \of {81 – 80} .x = 18 + 3x\).
Do đó: \({x^3} – 3x – 18 = 0\,\,\left( * \right)\)
Advertisements (Quảng cáo)
Mà \({x^3} – 3x – 18 = \left( {x – 3} \right)\left( {{x^2} + 3x + 6} \right)\) nên từ phương trình đã cho suy ra
x=3 (vì \({x^2} + 3x + 6 > 0,\forall x\))
Vậy \(\root 3 \of {9 + \sqrt {80} } + \root 3 \of {9 – \sqrt {80} } = 3\)
Bài 11: So sánh các số
a) \({\left( {\sqrt 3 } \right)^{ – {5 \over 6}}}\) và \(\root 3 \of {{3^{ – 1}}\root 4 \of {{1 \over 3}} } \) b) \({3^{600}}\) và \({5^{400}}\)
c) \({\left( {{1 \over 2}} \right)^{ – {5 \over 7}}}\)và \(\sqrt 2 {.2^{{3 \over {14}}}}\) d) \({7^{30}}\) và \({4^{40}}\)
Giải
a) Ta có: \({\left( {\sqrt 3 } \right)^{ – {5 \over 6}}} = {3^{ – {5 \over {12}}}}\) và \(\root 3 \of {{3^{ – 1}}\root 4 \of {{1 \over 3}} } = \root 3 \of {{3^{ – 1}}{1 \over {{3^{{1 \over 4}}}}}} = \root 3 \of {{3^{ – 1}}{3^{ – {1 \over 4}}}} = \root 3 \of {{3^{ – {5 \over 4}}}} = {3^{ – {5 \over {12}}}}\).
Vậy \({\left( {\sqrt 3 } \right)^{ – {5 \over 6}}}\) = \(\root 3 \of {{3^{ – 1}}\root 4 \of {{1 \over 3}} } \)
b) Ta có: \({3^{600}} = {\left( {{3^3}} \right)^{200}} = {27^{200}}\) và \({5^{400}} = {\left( {{5^2}} \right)^{200}} = {25^{200}}\).
Vậy \({3^{600}}\) > \({5^{400}}\)
c) Ta có: \({\left( {{1 \over 2}} \right)^{ – {5 \over 7}}} = {2^{{5 \over 7}}}\) và \(\sqrt 2 {.2^{{3 \over {14}}}} = {2^{{1 \over 2}}}{.2^{{3 \over {14}}}} = {2^{{1 \over 2} + {3 \over {14}}}} = {2^{{5 \over 7}}}\).
Vậy \({\left( {{1 \over 2}} \right)^{ – {5 \over 7}}}\)= \(\sqrt 2 {.2^{{3 \over {14}}}}\).
d) Ta có: \({7^{30}} = {\left( {{7^3}} \right)^{10}} = {343^{10}}\);
\({4^{40}} = {\left( {{4^4}} \right)^{10}} = {256^{10}}\).
Vậy \({7^{30}}\) >\({4^{40}}\)
