Bài 20: Tìm số thực \(\alpha \), thỏa mãn từng điều kiện sau:
a) \({1 \over 2}\left( {{a^\alpha } + {a^{ – \alpha }}} \right) = 1\,\,\left( {a > 0} \right);\)
b) \({3^{\left| \alpha \right|}} < 27.\)
Giải
a) \({1 \over 2}\left( {{a^\alpha } + {a^{ – \alpha }}} \right) = 1 \Leftrightarrow {a^\alpha } + {a^{ – \alpha }} – 2 = 0 \)
\(\Leftrightarrow {\left( {{a^{{\alpha \over 2}}} – {a^{ – {\alpha \over 2}}}} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow {a^{{\alpha \over 2}}} = {a^{ – {\alpha \over 2}}}\)(*)
– Nếu \(a \ne \,1\) thì (*) \( \Leftrightarrow {\alpha \over 2} = – {\alpha \over 2} \Leftrightarrow \alpha = 0\)
– Nếu \(a = 1\) thì (*) \( \Leftrightarrow \alpha \) là số thực tùy ý.
b) \({3^{\left| \alpha \right|}} < 27 \Leftrightarrow {3^{\left| \alpha \right|}} < {3^3} \Leftrightarrow \left| \alpha \right| < 3 \Leftrightarrow – 3 < \alpha < 3.\)
Bài 21: Giải các phương trình sau bằng cách đặt \(t = \root 4 \of x \):
a) \(\sqrt x + \root 4 \of x = 2;\)
Advertisements (Quảng cáo)
b) \(\sqrt x – 3\root 4 \of x + 2 = 0\).
Giải
a) Điều kiện \(x \ge 0\)
Đặt \(t = \root 4 \of x \left( {t \ge 0} \right)\), ta được phương trình \({t^2} + t = 2\).
Ta có
\({t^2} + t = 2 \Leftrightarrow {t^2} + t – 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = 1 \hfill \cr
t = – 2\text{ loại } \hfill \cr} \right.\) \( \Leftrightarrow \root 4 \of x = 1 \Leftrightarrow x = 1\)
Vậy tập nghiệm phương trình là S =\(\left\{ 1 \right\}\)
Advertisements (Quảng cáo)
b) Điều kiện \(x \ge 0\). Đặt \(t = \root 4 \of x \,\,\left( {t \ge 0} \right)\) ta được phương trình
\({t^2} – 3t + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = 1 \hfill \cr
t = 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\root 4 \of x = 1 \hfill \cr
\root 4 \of x = 2 \hfill \cr} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 1 \hfill \cr
x = 16 \hfill \cr} \right.\)
Vậy \(S = \left\{ {1;16} \right\}\)
Bài 22: Giải các bất phương trình sau:
\(a){x^4} < 3;\) \(b){x^{11}} \ge 7;\)
\(c){x^{10}} > 2;\) \(d){x^3} \le 5;\)
Giải
\(a)\,\,{x^4} < 3 \Leftrightarrow \left| x \right| < \root 4 \of 3 \Leftrightarrow – \root 4 \of 3 < x < \root 4 \of 3 \).
Tập nghiệm \(S = \left( { – \root 4 \of 3 ;\root 4 \of 3 } \right)\)
\(b)\,\,{x^{11}} \ge 7 \Leftrightarrow x \ge \root {11} \of 7 ;\)
Vậy \(S = \left[ {\root {11} \of 7 ; + \infty } \right)\)
\(c)\,\,{x^{10}} > 2 \Leftrightarrow \left| x \right| > \root {10} \of 2 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x < – \root {10} \of 2 \hfill \cr
x > \root {10} \of 2 \hfill \cr} \right..\)
Vậy \(S = \left( { – \infty ; – \root {10} \of 2 } \right) \cup \left( {\root {10} \of 2 ; + \infty } \right)\)
\(d)\,\,{x^3} \le 5 \Leftrightarrow x \le \root 3 \of 5 \,\,\,\text{ Vậy } S = \left( { – \infty ;\root 3 \of 5 } \right)\)
