Bài 5: Dùng phương pháp đổi biến số, tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
\(a)\,f\left( x \right) = {{9{x^2}} \over {\sqrt {1 – {x^3}} }}\) \(b)\,f\left( x \right) = {1 \over {\sqrt {5x + 4} }}\)
\(c)\,f\left( x \right) = x\root 4 \of {1 – {x^2}} \) \(d)\,f\left( x \right) = {1 \over {\sqrt x {{\left( {1 + \sqrt x } \right)}^2}}}\)
a) Đặt \(u = \sqrt {1 – {x^3}} \Rightarrow {u^2} = 1 – {x^3}\)
\(\Rightarrow 2udu = – 3{x^2}dx \Rightarrow {x^2}dx = – {2 \over 3}udu\)
Ta có: \(\int {{{9{x^2}} \over {\sqrt {1 – {x^3}} }}dx} = \int {{{9.{-2 \over 3}udu} \over u}} \)
\(= – 6\int {du = – 6u + C = – 6\sqrt {1 – {x^3}} + C} \)
b) Đặt \(u = \sqrt {5x + 4} \Rightarrow {u^2} = 5x + 4 \Rightarrow 2udu = 5dx \)
\(\Rightarrow dx = {{2u.du} \over 5}\)
Do đó: \(\int {{{dx} \over {\sqrt {5x + 4} }}} = \int {{{2udu} \over {5u}} = {2 \over 5}u + C = {2 \over 5}\sqrt {5x + 4} + C} \)
c) Đặt \(u = \root 4 \of {1 – {x^2}} \Rightarrow {u^4} = 1 – {x^2} \)
\(\Rightarrow 4{u^3}du = – 2xdx \Rightarrow xdx = – 2{u^3}du\)
Do đó: \(\int {x\root 4 \of {1 – {x^2}} dx = \int { – 2{u^4}du} = -{{2{u^5}} \over 5} + C }\)
\(= – {2 \over 5}\root 4 \of {\left( {1 – {x^2}} \right)5\,} + C \)
d) Đặt \(u = 1 + \sqrt x \Rightarrow du = {{du} \over {2\sqrt x }} \Rightarrow {{dx} \over {\sqrt x }} = 2du\)
\(\,\,\, \Rightarrow \int {{{dx} \over {\sqrt x {{\left( {1 + \sqrt x } \right)}^2}}}} = \int {{{2u} \over {{u^2}}}} = – {2 \over u} + C = – {2 \over {1 + \sqrt x }} + C.\)
Bài 6: Dùng phương pháp lấy số nguyên hàm từng phần, tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) \(f\left( x \right) = x\sin x{x \over 2};\) b) \(f\left( x \right) = {x^2}\cos x;\)
\(c)\,f\left( x \right) = x{e^x};\) \(d)\,f\left( x \right) = {x^3}\ln x\)
a) Đặt
Advertisements (Quảng cáo)
\(\left\{ \matrix{
u = x \hfill \cr
dv = \sin {x \over 2}dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = dx \hfill \cr
v = – 2\cos {x \over 2} \hfill \cr} \right.\)
Do đó \(\int {x\sin x{x \over 2}dx} = – 2x\cos {x \over 2} + 2\int {\cos {x \over 2}dx }\)
\(= – 2x\cos {x \over 2} + 4\sin {x \over 2} + C \)
b) Đặt
\(\left\{ \matrix{
u = {x^2} \hfill \cr
dv = \cos xdx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = 2xdx \hfill \cr
v = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} \hfill \cr} \right.\)
Do đó \(\int {{x^2}} \cos xdx = {x^2}{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} – 2\int {x\sin xdx\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)} \)
Tính \(\int {x\sin xdx} \)
Đặt
\(\left\{ \matrix{
u = x \hfill \cr
dv = \sin {\rm{x}}dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = dx \hfill \cr
v = – \cos x \hfill \cr} \right.\)
\( \Rightarrow \int {x\sin xdx = – x\cos x + \int {\cos xdx}}\)
Advertisements (Quảng cáo)
\(= – x\cos x + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + \,C\)
Thay vào (1) ta được: \(\int {{x^2}\cos xdx = {x^2}{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + 2x\cos x – 2\sin x + C} \)
c) Đặt
\(\left\{ \matrix{
u = x \hfill \cr
dv = {e^x}dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = dx \hfill \cr
v = {e^x} \hfill \cr} \right.\)
Do đó \(\int {x{e^x}dx = x{e^x} – \int {{e^x}dx} = x{e^x} – {e^x}} + C\)
d) Đặt
\(\left\{ \matrix{
u = \ln x \hfill \cr
dv = {x^3}dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = {1 \over x}dx \hfill \cr
v = {{{x^4}} \over 4} \hfill \cr} \right.\)
Do đó \(\int {{x^3}\ln xdx = {1 \over 4}{x^4}\ln x} – {1 \over 4}\int {{x^3}dx} \)
\(= {1 \over 4}x^4\ln x – {{{x^4}} \over {16}} + C\)
Bài 7: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) \(f\left( x \right) = 3x\sqrt {7 – 3{x^2}} ;\)
\(b)\,f\left( x \right) = \cos \left( {3x + 4} \right);\)
c) \(f\left( x \right) = – {1 \over {{{\cos }^2}\left( {3x + 2} \right)}};\)
d) \(f\left( x \right) = {\sin ^5}{x \over 3}\cos {x \over 3}.\)
a) Đặt \(u = \sqrt {7 – 3{x^2}} \Rightarrow {u^2} = 7 – 3{x^2} \Rightarrow 2udu = – 6xdx\)
\(\Rightarrow 3xdx = – udu\)
Do đó \(\int {3x\sqrt {7 – 3{x^2}} dx = – \int {{u^2}du = – {{{u^3}} \over 3} + C}} \)
\(= – {1 \over 3}\sqrt {{{\left( {7 – 3{x^2}} \right)}^3}} + C \)
b) \(\int {\cos \left( {3x + 4} \right)dx = {1 \over 3}\sin \left( {3x + 4} \right) + C} \)
c) \(\int {{{dx} \over {{{\cos }^2}\left( {3x + 2} \right)}} = {1 \over 3}\tan \left( {3x + 2} \right) + C} \)
d) Đặt \(u = \sin {x \over 3} \Rightarrow du = {1 \over 3}\cos {x \over 3}dx \Rightarrow \cos {x \over 3}dx = 3du\)
Do đó \(\int {{{\sin }^5}{x \over 3}\cos {x \over 3}dx = 3\int {{u^5}du = {{{u^6}} \over 2} + C } }\)
\(= {1 \over 2}{{\sin }^6}\left( {{x \over 3}} \right) + C. \)
