Bài 5: Cho hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn (O; R). Gọi H là hình gồm các điểm của hình tròn (O; R) nhưng không nằm trong hình vuông. Tính thể tích hình tròn xoay sinh bởi hình H khi quay quanh đường thẳng chứa một đường chéo của hình vuông.
Khi quay quanh đường chéo AC thì hình tròn (O, R) sinh ra khối cầu (S), đoạn thẳng BD sinh ra hình tròn (C) và hình vuông ABCD sinh ra hình tròn xoay K gồm hai hình nón có chung đáy là (C) với đỉnh là A và C. Do đó H sinh ra khối tròn xoay gồm những điểm thuộc hình cầu (S) nhưng không thuộc K và thể tích V của khối đó là:
\(V = {V_{\left( S \right)}} – {V_{\left( K \right)}} = {4 \over 3}\pi {R^3} – 2.{1 \over 3}\pi {R^2}.R = {2 \over 3}\pi {R^3}.\)
Bài 6: Cho hình lục giác đều ABCDEF cạnh a.
a) Tính thể tích hình tròn xoay sinh bởi lục giác đó khi quay quanh đường thẳng AD.
b) Tính thế tích hình tròn xoay sinh bởi lục giác đó khi quay quanh đường thẳng đi qua trung điểm của các cạnh AB và DE.
a)
Khi quay lục giác dều ABCDEF quanh đường thẳng AD, ta được khối tròn xoay hợp bởi ba khối: Khối nón \({N_1}\) sinh bởi tam giác ABF, khối trụ T sinh bởi hình chữ nhật BCEF và khối nón \({N_2}\) sinh bởi tam giác DCE. Hai khối nón và trụ đều có bán kính đáy là \(R = {{BF} \over 2} = {{a\sqrt 3 } \over 2}.\) Khối trụ có chiều cao a và các khối nón có chiều cao \({a \over 2}.\) Vậy khối tròn xoay sinh bởi lục giác đã cho có thể tích là:
\(V = \pi {\left( {{{a\sqrt 3 } \over 2}} \right)^2}a + 2.{1 \over 3}\pi {\left( {{{a\sqrt 3 } \over 2}} \right)^2}.{a \over 2} = \pi {a^3}.\)
b)
Advertisements (Quảng cáo)
Gọi \(\Delta \) là đường thẳng nối trung điểm của AB và ED. Khi đó BC và AF cắt nhau tại điểm O trên \(\Delta \), Cd và FE cắt nhau tại O’ trên \(\Delta \). Gọi V, \({V_1},{V_2}\) là thể tích các khối tròn xoay lần lượt sinh ra bởi lục giác đều ABCDEF, tam giác OCF và tam giác OAB khi quay quanh \(\Delta \), ta có:
\(\eqalign{
& {V_1} = {1 \over 3}\pi {a^2}a\sqrt 3 = {{\pi {a^3}\sqrt 3 } \over 3} \cr
& {V_2} = {1 \over 3}\pi {\left( {{a \over 2}} \right)^2}{{a\sqrt 3 } \over 2} = {{\pi {a^3}\sqrt 3 } \over {24}}. \cr} \)
Do đó \(V = 2\left( {{V_1} – {V_2}} \right) = {{7\sqrt 3 \pi {a^3}} \over {12}}.\)
Bài 7: Cho hình trụ có bán kính R và đường cao \(R\sqrt 2 \). Gọi AB và CD là hai đường kính thay đổi của hai đường tròn đáy mà AB vuông góc với CD.
a) Chứng minh ABCD là tứ diện đều.
b) Chứng minh rằng các đường thẳng AC, AD, BC, BD luôn tiếp xúc với một mặt trụ cố định (tức là khoảng cách giữa mỗi đường thẳng đó và trục của mặt trụ bằng bán kính mặt trụ).
a) Gọi A’, B’ lần lượt là hình chiếu của A, B trên mặt phẳng chứa đường tròn đáy có đường kính CD, khi đó A’, B’ nằm trên đường tròn đáy.
Advertisements (Quảng cáo)
Ta có: \(A’B’ \bot CD\) nên A’CB’D là hình vuông có đường chéo CD = 2R nên \(A’C = R\sqrt 2 ,\) mà \(AA’ = R\sqrt 2 \) nên ta suy ra AC = 2R.
Tương tự AD = BC = BD = 2R. Vậy ABCD là tứ diện đều.
b) Gọi O, O’ lần lượt là tâm của hai đường tròn đáy.
Ta có \(d\left( {OO’,AC} \right) = d\left( {OO’,\left( {AA’C} \right)} \right) = O’H\) (với H là trung điểm của A’C).
Vậy \(d = O’H = {{R\sqrt 2 } \over 2}.\)
Tương tự khoảng cách giữa mỗi đường thẳng BC, BD và OO’ đều bằng \({{R\sqrt 2 } \over 2}\). Vậy các cạnh AC, AD, BC, BD đều tiếp xúc với mặt trụ có trục OO’ và bán kính \({{R\sqrt 2 } \over 2}\).
Bài 8: Trong không gian tọa độ Oxyz cho các điểm A(1; 5; 3), B(4; 2; -5), C(5; 5; -1) và D(1; 2; 4).
a) Chứng tỏ rằng bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng.
b) Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A, B, C, D . Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó.
c) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A, B, C và tìm khoảng cách từu điểm D tới mặt phẳng đó.
d) Viết phương trình mặt phẳng vuông góc với CD và tiếp xúc với mặt cầu (S).
e) Tìm bán kính các đường tròn giao tuyến của mặt cầu (S) và các mặt phẳng tọa độ.
a) Ta có:
\(\eqalign{
& \overrightarrow {AB} = \left( {3, – 3, – 8} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {4,0, – 4} \right). \cr
& \overrightarrow {AD} = \left( {0, – 3,1} \right) \cr
& \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {12, – 20,12} \right),\cr&\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} = 72 \ne 0. \cr} \)
Vậy bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng.
b) Giả sử mặt cầu (S) có phương trình: \({x^2} + {y^2} + {z^2} – 2ax – 2by – 2cz = 0\).
Vì \(A,B,C,D \in \left( S \right)\) nên ta có hệ phương trình:
\(\left\{ \matrix{
1 + 25 + 9 – 2a – 10b – 6c + d = 0 \hfill \cr
16 + 4 + 25 – 8a – 4b + 10c + d = 0 \hfill \cr
1 + 4 + 16 – 2a – 4b – 8c + d = 0 \hfill \cr} \right.\)
\(\Rightarrow \left\{ \matrix{
3a – 3b – 8c = 5 \hfill \cr
a – c = 2 \hfill \cr
– 3b + c = – 7 \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
a = 1 \hfill \cr
b = 2 \hfill \cr
c = – 1 \hfill \cr
d = – 19 \hfill \cr} \right.\)
Vậy \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} – 2x – 4y + 2z – 19 = 0.\)
Mặt cầu (S) có tâm \(I\left( {1,2, – 1} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {1 + 4 + 1 + 19} = 5.\)
c) Mp(ABC) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {12, – 20,12} \right) = 4\left( {3, – 5,3} \right).\)
Mp(ABC) đi qua \(A\left( {1,5,3} \right)\) nên có phương trình:
\(3\left( {x – 1} \right) – 5\left( {y – 5} \right) + 3\left( {z – 3} \right)0 \)
\(\Leftrightarrow 3x – 5y + 3z + 13 = 0.\)
Khoảng cách từ D đến mp(ABC) là: \(h = {{\left| {3.1 – 5.2 + 3.4 + 13} \right|} \over {\sqrt {{3^2} + {5^2} + {3^2}} }} = {{18} \over {\sqrt {43} }}\).
d) Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) vuông góc với CD có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {CD} = \left( { – 4, – 3,5} \right)\) nên có phương trình:
\( – 4x – 3y + 5z + d = 0.\)
Mặt phẳng đó tiếp xúc với mặt cầu (S) khi và chỉ khi khoảng cách từ tâm \(I\left( {1,2, – 1} \right)\) của mặt cầu(S) tới mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) bằng 5, tức là:
\({{\left| { – 4.1 – 3.2 – 5.1 + d} \right|} \over {\sqrt {16 + 9 + 25} }} = 5 \Leftrightarrow {{\left| { – 15 + d} \right|} \over {\sqrt {50} }} = 5 \)
\(\Leftrightarrow d = 15 \pm 25\sqrt 2 .\)
Vậy \(\left( \alpha \right): – 4x – 2y + 5z + 15 \pm 25\sqrt 2 = 0.\)
e) Mặt cầu (S) có tâm \(I\left( {1,2, – 1} \right)\), mp(Oxy) có phương trình là z = 0. Khoảng cách từ điểm I đến mp(Oxy) là \({d_1} = \left| { – 1} \right| = 1 < R\) nên (S) cắt mặt phẳng theo đường tròn có bán kính là \({r_1} = \sqrt {{R^2} – d_1^2} = \sqrt {25 – 1} = 2\sqrt 6 .\)
Tương tự mp(Oyz) có phương trình là x = 0. Khoảng cách từ tâm I đến mp(Oyz) là \({d_2} = \left| 1 \right| = 1 < R\) nên (S) cắt mp(Oyz) theo đường tròn có bán kính là \({r_2} = \sqrt {{R^2} – d_2^2} = \sqrt {25 – 1} = 2\sqrt 6 .\)
Tương tự mp(Oxz) có phương trình là y = 0. Khoảng cách từ tâm I đến mp(Oxz) là \({d_3} = \left| 2 \right| = 2 < R\) nên (S) cắt mp(Oyz) theo đường tròn có bán kính là \({r_3} = \sqrt {{R^2} – d_3^2} = \sqrt {25 – 4} = \sqrt {21} .\)
