Bài 5.9: Cho hàm số \(y = {1 \over 3}{x^3} – (m – 1){x^2} + (m – 3)x + 4{1 \over 2}\) (m là tham số) (1)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m = 0.
b) Viết phương trình của tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm \(A(0;4{1 \over 2})\)
c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) , trục hoành và các đường thẳng x = 0 và x = 2.
d) Xác định m để đồ thị của (1) cắt đường thẳng \(y = – 3x + 4{1 \over 2}\) tại ba điểm phân biệt.
a) \(y = {1 \over 3}{x^3} + {x^2} – 3x + 4{1 \over 2}\)
+) Tập xác định: D = R
+) Sự biến thiên: y’ = x2 + 2x – 3
\(y’ = 0\Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = 1} \cr {x = – 3} \cr} } \right.\)
Bảng biến thiên:
Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞; -3) và (1; +∞), nghịch biến trên khoảng (-3; 1).
Hàm số đạt cực đại tại \(x = – 3;{y_{CD}} = 13{1 \over 2};{y_{CT}} = 2{5 \over 6}\) khi x = 1
Đồ thị cắt trục tung tại điểm \((0;4{1 \over 2})\) và có dạng như hình dưới đây.
\(y’’ = 2x + 2 ; y’’ = 0 \Leftrightarrow x = -1.\) Vậy là tâm đối xứng của đồ thị.
b) Tiếp tuyến với (C) đi qua \(A(0;4{1 \over 2})\) có phương trình là:\(y = f'(0)x + 4{1 \over 2}\), trong đó \(f(x) = {1 \over 3}{x^3} + {x^2} – 3x + 4{1 \over 2}\)
Ta có f ’(0) = -3.
Vậy phương trình tiếp tuyến là \(y = – 3x + 4{1 \over 2}\)
c) \(S = \int\limits_0^2 {({1 \over 3}{x^3} + {x^2} – 3x + 4{1 \over 2})dx = 7} \) (đơn vị diện tích).
d) Hoành độ giao điểm của đường thẳng \(y = – 3x + 4{1 \over 2}\) với đồ thị của (1) thỏa mãn phương trình
\({1 \over 3}{x^3} – (m – 1){x^2} + (m – 3)x + 4{1 \over 2} = – 3x + 4{1 \over 2}\) (2)
Ta có \((2)\Leftrightarrow {1 \over 3}{x^3} – (m – 1){x^2} + mx = 0\)
Advertisements (Quảng cáo)
\(\Leftrightarrow x{\rm{[}}{x^2} – 3(m – 1)x + 3m] = 0\)
Để (2) có ba nghiệm phân biệt thì phương trình f(x) = x2– 3(m – 1)x + 3m = 0 phải có hai nghiệm phân biệt khác 0, tức là:
\(\left\{ {\matrix{{f(0) = 3m \ne 0} \cr {\Delta = 9{{(m – 1)}^2} – 12m > 0} \cr} } \right.\Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{m \ne 0} \cr {\left[ {\matrix{{m < {1 \over 3},m \ne 0} \cr {m > 3} \cr} } \right.} \cr} } \right.\).
Bài 5.10: a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số \(y = {{4x + 4} \over {2x + 1}}\)
b) Từ (C) suy ra đồ thị của hàm số \(y = |{{4x + 4} \over {2x + 1}}|\)
c) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) , biết rằng tiếp tuyến đó song song với đường thẳng \(y = – {1 \over 4}x – 3\)
a) \(y = {{4x + 4} \over {2x + 1}}\)
Tập xác định: \(D = R\backslash {\rm{\{ }} – {1 \over 2}{\rm{\} }}\)
Ta có \(y’ = – {4 \over {{{(2x + 1)}^2}}}\)
Bảng biến thiên:
Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(( – \infty ; – {1 \over 2})\) và \(( – {1 \over 2}; + \infty )\)
Tiệm cận đứng: \(x = – {1 \over 2}\) ; Tiệm cận ngang: y = 2
Giao với các trục tọa độ: (0; 4) và (-1; 0)
Advertisements (Quảng cáo)
Đồ thị:
b) Đồ thị của hàm số được suy ra từ (C) bằng cách giữ nguyên phần đồ thị nằm phía trên trục hoành và lấy đối xứng qua trục hoành phần đồ thị nằm phía dưới trục hoành.
c) Tiếp tuyến có hệ số góc bằng \( – {1 \over 4}\).
Hoành độ tiếp điểm phải thỏa mãn phương trình \(- {4 \over {{{(2x + 1)}^2}}} = – {1 \over 4}\)
\(\Leftrightarrow {(2x + 1)^2} = 16\Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = – {5 \over 2}} \cr {x = {3 \over 2}} \cr} } \right.\)
Hai tiếp tuyến cần tìm là \(y = – {1 \over 4}x + {7 \over 8}\) và \(y = – {1 \over 4}x + {{23} \over 8}\).
Bài 5.11: Cho hàm số: \(y = {{(2 + m)x + m – 1} \over {x + 1}}\) (1)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m = 2.
b) Xác định các điểm có tọa độ nguyên trên đồ thị của (1) khi \(m \in Z\).
a) Với m = 2, ta có \(y = {{4x + 1} \over {x + 1}}\)
Đồ thị:
b) Ta có \(y = 2 + m – {3 \over {x + 1}}\)
Vậy để y nguyên với x và m nguyên thì x + 1 phải là ước của 3, tức là: \(x + 1 = \pm 1\) hoặc \(x + 1 = \pm 3\) hay \({x_1} = 0;{x_2} = – 2;{x_3} = – 4;{x_4} = 2\) .
Vậy các điểm thuộc đồ thị của (1) có tọa độ nguyên là A(0; m -1) ; B(-2; 5 + m); C(-4; 3 + m); D(2; m + 1).
Bài 5.12: Cho a, b, x là những số dương. Đơn giản các biểu thức sau:
a) \(A = {{\rm{[}}{{2a + {{(ab)}^{{1 \over 2}}}} \over {3a}}{\rm{]}}^{ – 1}}{\rm{[}}{{{a^{{3 \over 2}}} – {b^{{3 \over 2}}}} \over {a – {{(ab)}^{{1 \over 2}}}}} – {{a – b} \over {\sqrt a + \sqrt b }}{\rm{]}}\)
b) \(B = {({{\sqrt a + \sqrt x } \over {\sqrt {a + x} }} – {{\sqrt {a + x} } \over {\sqrt a + \sqrt x }})^{ – 2}} – {({{\sqrt a – \sqrt x } \over {\sqrt {a + x} }} – {{\sqrt {a + x} } \over {\sqrt a – \sqrt x }})^{ – 2}}\)
c) \(C = \sqrt {{{16}^{{1 \over {{{\log }_7}4}}}} + {{81}^{{1 \over {{{\log }_6}9}}}} + 15} \)
d) \(D = {49^{1 – {{\log }_7}2}} + {5^{ – {{\log }_5}4}}\)
Do a, b, x là những số dương nên ta có:
a) \({A_1} = {{\rm{[}}{{2a + {{(ab)}^{{1 \over 2}}}} \over {3a}}{\rm{]}}^{ – 1}} = {{3a} \over {2a + {{(ab)}^{{1 \over 2}}}}} = {{3{a^{{1 \over 2}}}} \over {2{a^{{1 \over 2}}} + {b^{{1 \over 2}}}}}\)
\({A_2} = \left[ {{{{a^{{3 \over 2}}} – {b^{{3 \over 2}}}} \over {a – {{(ab)}^{{1 \over 2}}}}}} \right. – \left. {{{a – b} \over {\sqrt a + \sqrt b }}} \right]\)
\(= {{({a^{{1 \over 2}}} – {b^{{1 \over 2}}})(a + {{(ab)}^{{1 \over 2}}} + b)} \over {{a^{{1 \over 2}}}({a^{{1 \over 2}}} – {b^{{1 \over 2}}})}} – ({a^{{1 \over 2}}} – {b^{{1 \over 2}}})\)
\( = {{a + {{(ab)}^{{1 \over 2}}} + b – {a^{{1 \over 2}}}({a^{{1 \over 2}}} – {b^{{1 \over 2}}})} \over {{a^{{1 \over 2}}}}} = {{2{a^{{1 \over 2}}}{b^{{1 \over 2}}} + b} \over {{a^{{1 \over 2}}}}} = {{{b^{{1 \over 2}}}(2{a^{{1 \over 2}}} + {b^{{1 \over 2}}})} \over {{a^{{1 \over 2}}}}}\)
Vậy \(A = {A_1}.{A_2} = {{3{a^{{1 \over 2}}}} \over {2{a^{{1 \over 2}}} + {b^{{1 \over 2}}}}}.{{{b^{{1 \over 2}}}(2{a^{{1 \over 2}}} + {b^{{1 \over 2}}})} \over {{a^{{1 \over 2}}}}} = 3\sqrt b \)
b) \({B_1} = {({{\sqrt a + \sqrt x } \over {\sqrt {a + x} }} – {{\sqrt {a + x} } \over {\sqrt a + \sqrt x }})^{ – 2}} = {{(a + x){{(\sqrt a + \sqrt x )}^2}} \over {4ax}}\)
\({B_2} = {({{\sqrt a – \sqrt x } \over {\sqrt {a + x} }} – {{\sqrt {a + x} } \over {\sqrt a – \sqrt x }})^{ – 2}} = {{(a + x){{(\sqrt a – \sqrt x )}^2}} \over {4ax}}\)
Vậy \(B = {B_1} – {B_2} = {{a + x} \over {\sqrt {ax} }}\)
c) Ta có \({16^{{1 \over {{{\log }_7}4}}}} = {4^{2{{\log }_4}7}} = 49;{81^{{1 \over {{{\log }_6}9}}}} = 36\)
\(\Rightarrow C = \sqrt {49 + 36 + 15} = 10\)
d) Ta có \({49^{1 – {{\log }_7}2}} = {{49} \over {{{49}^{{{\log }_7}2}}}} = {{49} \over 4};{5^{ – {{\log }_5}4}} = {1 \over 4}\)
\(\Rightarrow D = {{49} \over 4} + {1 \over 4} = {{25} \over 2}\).
