Bài 1: Giải các phương trình mũ:
a) \({\left( {0,3} \right)^{3x – 2}} = 1\);
b) \(\left ( \frac{1}{5} \right )^{x}\)= 25;
c) \(2^{x^{2}-3x+2}\) = 4;
d) \({\left( {0,5} \right)^{x + 7}}.{\left( {0,5} \right)^{1 – 2x}} = 2\).
Giải:
a) \({\left( {0,3} \right)^{3x – 2}} = 1 ={\left( {0,3} \right)^0} \Leftrightarrow 3x – 2=0 ⇔ x = \frac{2}{3}\).
b) \(\left ( \frac{1}{5} \right )^{x}= 25 ⇔{5^{ – x}} = {5^2} \Leftrightarrow x = – 2\).
c) \(2^{x^{2}-3x+2} = 4 ⇔ {x^2} – 3x +2=2 \Leftrightarrow x =0;x = 3\).
d) \({\left( {0,5} \right)^{x + 7}}.{\left( {0,5} \right)^{1 – 2x}} = 2 ⇔ \left ( \frac{1}{2} \right )^{x+7+1-2x}= 2\) \(⇔ 2^{x – 8} = 2^{1} \Leftrightarrow x – 8 = 1 \Leftrightarrow x = 9\).
Bài 2: Giải các phương trình mũ:
a) \({3^{2x-1}} + {3^{2x}} =108\);
b) \({2^{x + 1}} + {2^{x – 1}} + {2^x} = 28\);
c) \({64^x}-{8^x}-56 =0\);
d) \({3.4^x}-{2.6^x} = {9^x}\).
a) Đặt \(t ={3^{2x-1}} > 0\) thì phương trình đã cho trở thành \(t+ 3t = 108 ⇔ t = 27\).
Do đó phương trình đã cho tương đương với
\({3^{2x{\rm{ }}-{\rm{ }}1}} = {\rm{ }}27 \Leftrightarrow {\rm{ }}2x{\rm{ }} – {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}3 \Leftrightarrow {\rm{ }}x{\rm{ }} = {\rm{ }}2\).
b) Đặt \(t{\rm{ }} = {\rm{ }}{2^{x{\rm{ }} – {\rm{ }}1}} > {\rm{ }}0\), phương trình đã cho trở thành \(4t + t + 2t = 28 ⇔ t = 4\).
Phương trình đã cho tương đương với
\({2^{x{\rm{ }} – {\rm{ }}1}} = {\rm{ }}4 \Leftrightarrow {2^{x{\rm{ }} – {\rm{ }}1{\rm{ }}}} = {\rm{ }}{2^{2}} \Leftrightarrow x{\rm{ }} – 1{\rm{ }} = {\rm{ }}2 \Leftrightarrow {\rm{ }}x = {\rm{ }}3\).
c) Đặt \(t = 8^x> 0\). Phương trình đã cho trở thành
\({t^2}-{\rm{ }}t{\rm{ }}-{\rm{ }}56{\rm{ }} = {\rm{ }}0 \Leftrightarrow {\rm{ }}t{\rm{ }} = {\rm{ }}8;{\rm{ }}t{\rm{ }} = {\rm{ }} – 7\text{ (loại)}\).
Vậy phương trình đã cho tương đương với \(8^x= 8 ⇔ x = 1\).
d) Chia hai vế phương trình cho \(9^x> 0\) ta được phương trình tương đương
\(3.\frac{4^{x}}{9^{x}}\) – 2.\(\frac{6^{x}}{9^{x}}\) = 1 ⇔ 3. \(\left ( \frac{4}{9} \right )^{x}\) – 2.\(\left ( \frac{2}{3} \right )^{x} – 1 = 0\).
Advertisements (Quảng cáo)
Đặt \(t = \left ( \frac{2}{3} \right )^{x}\) > 0, phương trình trên trở thành
\(3t^2-2t – 1 = 0 ⇔ t = 1\); \(t = -\frac{1}{3}\)( loại).
Vậy phương trình tương đương với \(\left ( \frac{2}{3} \right )^{x}= 1 ⇔ x = 0\).
Bài 3: Giải các phương trình logarit
a) \({lo{g_3}\left( {5x{\rm{ }} + {\rm{ }}3} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}lo{g_3}\left( {7x{\rm{ }} + {\rm{ }}5} \right)}\)
b) \({log\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right){\rm{ }}-{\rm{ }}log\left( {2x{\rm{ }}-{\rm{ }}11} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}log{\rm{ }}2}\)
c) \({lo{g_2}\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}5} \right){\rm{ }} + {\rm{ }}lo{g_2}\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}2} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}3}\)
d) \({log{\rm{ }}\left( {{x^2}-{\rm{ }}6x{\rm{ }} + {\rm{ }}7} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}log{\rm{ }}\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}3} \right)}\)
a) \({lo{g_3}\left( {5x{\rm{ }} + {\rm{ }}3} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}lo{g_3}\left( {7x{\rm{ }} + {\rm{ }}5} \right)}\) (1)
TXD: \(D = \left( {{{ – 3} \over 5}, + \infty } \right)\)
Khi đó: (1) \(⇔ 5x + 3 = 7x + 5 ⇔ x = -1\) (loại)
Vậy phương trình (1) vô nghiệm.
b) \({log\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right){\rm{ }}-{\rm{ }}log\left( {2x{\rm{ }}-{\rm{ }}11} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}log{\rm{ }}2}\)
TXD: \(D = ({{11} \over 2}, + \infty )\)
Khi đó:
\(\eqalign{
& (2) \Leftrightarrow \lg {{x – 1} \over {2x – 11}} = \lg 2 \Leftrightarrow {{x – 1} \over {2x – 11}} = 2 \cr
& \Rightarrow x – 1 = 4x – 22 \Leftrightarrow x = 7 \cr} \)
Advertisements (Quảng cáo)
Ta thấy \(x = 7\) thỏa mãn điều kiện
Vậy phương trình có nghiệm là \(x = 7\)
c) \({lo{g_2}\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}5} \right){\rm{ }} + {\rm{ }}lo{g_2}\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}2} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}3}\) (3)
TXD: \((5, +∞)\)
Khi đó:
(3)\( \Leftrightarrow {\log _2}(x – 5)(x + 2)=3\)
\(\Leftrightarrow \left( {x – 5} \right)(x + 2) = 8 \)
\(\Leftrightarrow {x^2} – 3x – 18 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 6 \hfill \cr
x = – 3 \hfill \cr} \right.\)
Loại \(x = -3\)
Vậy phương trình có nghiệm \(x = 6\)
d) \({log{\rm{ }}\left( {{x^2}-{\rm{ }}6x{\rm{ }} + {\rm{ }}7} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}log{\rm{ }}\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}3} \right)}\) (4)
TXD: \(D = (3 + \sqrt 2 , + \infty )\)
Khi đó:
\(\eqalign{
& (4) \Leftrightarrow {x^2} – 6x + 7 = x – 3 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} – 7x + 10 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 5 \hfill \cr
x = 2 \hfill \cr} \right. \cr} \)
Loại \(x = 2\)
Vậy phương trình (4) có nghiệm là \(x = 5\).
Bài 4: Giải các phương trình lôgarit:
a) \({1 \over 2}\log \left( {{x^2} + x – 5} \right) = \log 5{\rm{x}} + \log {1 \over {5{\rm{x}}}}\)
b) \({1 \over 2}\log \left( {{x^2} – 4{\rm{x}} – 1} \right) = \log 8{\rm{x}} – \log 4{\rm{x}}\)
c) \({\log _{\sqrt 2 }}x + 4{\log _{4{\rm{x}}}}x + {\log _8}x = 13\)
a) \({1 \over 2}\log \left( {{x^2} + x – 5} \right) = \log 5{\rm{x}} + \log {1 \over {5{\rm{x}}}}\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
5{\rm{x}} > 0 \hfill \cr
{1 \over 2}\log \left( {{x^2} + x – 5} \right) = \log 5{\rm{x}} – \log 5{\rm{x}}\hfill \cr} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x > 0 \hfill \cr
{1 \over 2}\log \left( {{x^2} + x – 5} \right) = 0 \hfill \cr} \right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{ \matrix{
x > 0 \hfill \cr
\log \left( {{x^2} + x – 5} \right) = 0 \hfill \cr} \right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{ \matrix{
x > 0 \hfill \cr
{x^2} + x – 5 = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x > 0 \hfill \cr
{x^2} + x – 6 = 0 \hfill \cr} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x > 0 \hfill \cr
x = – 3;x = 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x = 2\)
Vậy nghiệm của phương trình là \(x = 2\)
b) \({1 \over 2}\log \left( {{x^2} – 4{\rm{x}} – 1} \right) = \log 8{\rm{x}} – \log 4{\rm{x}}\)
\(\Leftrightarrow\left\{ \matrix{
4{\rm{x > 0}} \hfill \cr
{{\rm{x}}^2} – 4{\rm{x}} – 1 > 0 \hfill \cr
{1 \over 2}\log \left( {{x^2} – 4{\rm{x}} – 1} \right) = \log {{8{\rm{x}}} \over {4{\rm{x}}}} \hfill \cr} \right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{ \matrix{
x > 0 \hfill \cr
{{\rm{x}}^2} – 4{\rm{x}} – 1 > 0 \hfill \cr
{1 \over 2}\log \left( {{x^2} – 4{\rm{x}} – 1} \right) = \log 2 \hfill \cr} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x > 0 \hfill \cr
\left[ \matrix{
x > 2 + \sqrt 5 \hfill \cr
x < 2 – \sqrt 5 \hfill \cr} \right. \hfill \cr
\log \left( {{x^2} – 4{\rm{x}} – 1} \right) = 2\log 2 \hfill \cr} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x > 2 + \sqrt 5 \hfill \cr
\log \left( {{x^2} – 4{\rm{x}} – 1} \right) = \log {2^2} = \log 4 \hfill \cr} \right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{ \matrix{
x > 2 + \sqrt 5 \hfill \cr
{x^2} – 4{\rm{x}} – 1 = 4 \hfill \cr} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x > 2 + \sqrt 5 \hfill \cr
{x^2} – 4{\rm{x}} – 5 = 0 \hfill \cr} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x > 2 + \sqrt 5 \hfill \cr
x = – 1;x = 5 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x = 5\)
Vậy nghiệm của phương trình là \(x = 5\)
c) \({\log _{\sqrt 2 }}x + 4{\log _{4}}x + {\log _8}x = 13\)
\(\Leftrightarrow {\log _{{2^{{1 \over 2}}}}}x + 4{\log _{{2^2}}}x + {\log _{{2^3}}}x = 13\)
\(\Leftrightarrow 2{\log _2}x + 2{\log _2}x + {1 \over 3}{\log _2}x = 13\)
\(\Leftrightarrow {{13} \over 3}{\log _2}x = 13 \Leftrightarrow {\log _2}x = 3 \Leftrightarrow x = {2^3} = 8\)
Vậy phương trình có nghiệm là \(x = 8\)
