Bài 5: Biết \({4^x} + {\rm{ }}{4^{ – x}} = {\rm{ }}23\).
Hãy tính: \({2^x} + {\rm{ }}{2^{ – x}}\)
\({{{\left( {{2^x} + {\rm{ }}{2^{ – x}}} \right)}^2} = {({2^x})^2} + {2.2^x}{.2^{ – x}} + {({2^{ – x}})^2}={\rm{ }}{4^x} + {\rm{ }}{4^{ – x}} + {\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}23{\rm{ }} + {\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}25}\)
Do đó \(|{2^x} + {2^{ – x}}| = 5\)
Mà \({2^x} + {2^{ – x}} > 0\)
\(⇒ {{2^x} + {\rm{ }}{2^{ – x}} = {\rm{ }}5}\).
Bài 6: Cho \({\log _a}b = 3,{\log _a}c = – 2\) . Hãy tính \(log_ax\) với:
a) \(x = {a^3}{b^2}\sqrt c \)
b) \(x = {{{a^4}\root 3 \of b } \over {{c^3}}}\)
Logarit hóa biểu thức đã cho và sử dụng giả thiết ta được:
a)
\(\eqalign{
& lo{g_a}x = {\rm{ }}3 + 2lo{g_a}b + {1 \over 2}{\log _a}c \cr
& = 3 + 6 – 1 = 8 \cr} \)
b)
\(\eqalign{
& {\log _a}x = 4 + {1 \over 3}{\log _a}b – 3{\log _a}c \cr
& = 4 + 1 + 6 = 11 \cr} \).
Bài 7: Giải các phương trình sau:
a) \({3^{x + 4}} + {\rm{ }}{3.5^{x + 3}} = {\rm{ }}{5^{x + 4}} + {\rm{ }}{3^{x + 3}}\)
b) \({25^x}-{\rm{ }}{6.5^x} + {\rm{ }}5{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)
c) \({4.9^x} + {\rm{ }}{12^x}-{\rm{ }}{3.16^x} = {\rm{ }}0\)
d) \(lo{g_7}\left( {x – 1} \right)lo{g_7}x{\rm{ }} = {\rm{ }}lo{g_7}x\)
e) \({\log _3}x + {\log _{\sqrt 3 }}x + {\log _{{1 \over 3}}}x = 6\)
g) \(\log {{x + 8} \over {x – 1}} = \log x\)
Advertisements (Quảng cáo)
a)
\(\eqalign{
& {3^{x + 4}} + {3.5^{x + 3}} = {5^{x + 4}} + {3^{x + 3}} \cr
& \Leftrightarrow {3^{x + 4}} – {3^{x + 3}} = {5^{x + 4}} – {3.5^{x + 3}} \cr
& \Leftrightarrow {2.3^{x + 3}} = {2.5^{x + 3}} \cr
& \Leftrightarrow {({3 \over 5})^{x + 3}} = 1 \Leftrightarrow x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = – 3 \cr} \)
b) \({25^x}-{\rm{ }}{6.5^x} + {\rm{ }}5{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)
Đặt \(t = 5^x\) (\(t > 0\)) \(⇔ x = log_5 t\).
Phương trình đã cho trở thành:
\(t^2– 6t + 5 = 0 ⇔ t ∈ {\rm{\{ }}1;5\} \)
Do đó, phương trình đã cho có nghiệm là \(x = 0, x = 1\)
c) \({4.9^x} + {\rm{ }}{12^x}-{\rm{ }}{3.16^x} = {\rm{ }}0\)
Chia phương trình cho \(16^x\) và đặt \(t = {({3 \over 4})^x}(t > 0) \Leftrightarrow x = {\log _{{3 \over 4}}}t\) ta được phương trình:
\(4t^2+ t – 3 = 0 ⇔ (t+1)(4t-3) = 0\)
Phương trình bậc hai này chỉ có một nghiệm dương \(t = {3 \over 4}\) .
Do đó phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là : \(x = {\log _{{3 \over 4}}}{3 \over 4} = 1\)
d) \(lo{g_7}\left( {x – 1} \right)lo{g_7}x{\rm{ }} = {\rm{ }}lo{g_7}x\)
Điều kiện: \(x > 1\)
\(\eqalign{
& lo{g_7}\left( {x – 1} \right)lo{g_7}x = lo{g_7}x \cr
& \Leftrightarrow {\log _7}x({\log _7}(x – 1) – 1) = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{\log _7}x = 0 \hfill \cr
{\log _7}(x – 1) = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 1 \hfill \cr
(x – 1) = 7 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 1 \hfill \cr
x = 8 \hfill \cr} \right. \cr}\)
Kết hợp với điều kiện xác định ta có: \(x = 8\)
Advertisements (Quảng cáo)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là \(x = 8\)
e) \({\log _3}x + {\log _{\sqrt 3 }}x + {\log _{{1 \over 3}}}x = 6\)
Điều kiện : \(x > 0\)
Ta có:
\(\eqalign{
& {\log _3}x + {\log _{\sqrt 3 }}x + {\log _{{1 \over 3}}}x = 6 \cr
& \Leftrightarrow {\log _3}x + {\log _{\sqrt 3 }}x – {\log _3}x = 6 \cr
& \Leftrightarrow {\log _{\sqrt 3 }}x = 6 \Leftrightarrow x = {3^3} \cr
& \Leftrightarrow x = 27 \cr} \)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: \(x = 27\)
g) \(\log {{x + 8} \over {x – 1}} = \log x\)
Ta có:
\(\eqalign{
& \log {{x + 8} \over {x – 1}} = \log x \Leftrightarrow {{x + 8} \over {x – 1}} = x > 0 \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x > 0,x \ne 1 \hfill \cr
{x^2} – 2x – 8 = 0 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow x = 4 \cr} \)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: \(x = 4\)
Bài 8: Giải các bất phương trình
a) \({2^{2x – 1}} + {\rm{ }}2{x^{2x – 2}} + {\rm{ }}{2^{2x – 3}} \ge {\rm{ }}448\)
b) \({\left( {0,4} \right)^x}-{\rm{ }}{\left( {2,5} \right)^{x + 1}} > {\rm{ }}1,5\)
c) \({\log _3}\left[ {{{\log }_{{1 \over 2}}}({x^2} – 1)} \right] < 1\)
d) \({\log _{0,2}}^2x – 5{\log _{0,2}}x < – 6\)
a) \({2^{2x – 1}} + {\rm{ }}2{x^{2x – 2}} + {\rm{ }}{2^{2x – 3}} \ge {\rm{ }}448\)
Ta có:
\(⇔ {2^{2x – 3}}({2^2} + {\rm{ }}{2^1} + {\rm{ }}1){\rm{ }} \ge {\rm{ }}448\)
\(⇔ {2^{2x – 3}} \ge {\rm{ }}64{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}2x{\rm{ }}-{\rm{ }}3{\rm{ }} \ge {\rm{ }}6\)
\(⇔ x ≥ 4,5\)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: \([4,5; +∞)\).
b) \({\left( {0,4} \right)^x}-{\rm{ }}{\left( {2,5} \right)^{x + 1}} > {\rm{ }}1,5\)
Đặt \(t = {(0,4)}^x> 0\), bất phương trình đã cho trở thành:
\(\eqalign{
& t – {{2,5} \over t} > 1,5 \Leftrightarrow 2{t^2} – 3t – 5 > 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
t < – 1 \hfill \cr
t > 2,5 \hfill \cr} \right. \cr} \)
Do \(t = {(0,4)}^x> 0\), bất phương trình đã cho tương đương với:
\({\left( {0,4} \right)^x} > {\rm{ }}2,5{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}{\left( {0,4} \right)^x} > {\rm{ }}{\left( {0,4} \right)^{ – 1}} \Leftrightarrow {\rm{ }}x{\rm{ }} < {\rm{ }} – 1\)
c) \({\log _3}\left[ {{{\log }_{{1 \over 2}}}({x^2} – 1)} \right] < 1\)
Ta có:
\({\log _3}\left[ {{{\log }_{{1 \over 2}}}({x^2} – 1)} \right] < 1 \)
\( \Leftrightarrow {\log _3}\left[ {{{\log }_{{1 \over 2}}}({x^2} – 1)} \right] < {\log _3}3\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{\log _{{1 \over 2}}}({x^2} – 1) > 0 = {\log _{{1 \over 2}}}1 \hfill \cr
lo{g_{{1 \over 2}}}({x^2} – 1) > 3 = {\log _{{1 \over 2}}}{1 \over 8} \hfill \cr} \right. \)
\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
0 < {x^2} – 1 < 1 \hfill \cr
{x^2} – 1 > {1 \over 8} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x^2} < 2 \hfill \cr
{x^2} > {9 \over 8} \hfill \cr} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
|x| < \sqrt 2 \hfill \cr
|x| > {3 \over {2\sqrt 2 }} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow {3 \over {2\sqrt 2 }} < |x|<\sqrt 2 \)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: \(\left\{ {x \in R:{3 \over {2\sqrt {2 < } }}<|x| < \sqrt 2 } \right\}\)
d) \({\log _{0,2}}^2x – 5{\log _{0,2}}x < – 6\)
Đặt \(t{\rm{ }} = {\rm{ }}lo{g_{0,2}}x\). Bất phương trình trở thành
\({t^2}-{\rm{ }}5t{\rm{ }} + {\rm{ }}6{\rm{ }} < {\rm{ }}0{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}2{\rm{ }} < {\rm{ }}t{\rm{ }} < {\rm{ }}3\)
Suy ra: (1) ⇔
\(\eqalign{
& 2 < {\log _{0,2}}x < 3 \Leftrightarrow {(0,2)^3} < x < {(0,2)^2} \cr
& \Leftrightarrow {1 \over {125}} < x < {1 \over {25}} \cr}\)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \(({1 \over {125}},{1 \over {25}})\)
