Bài 2.30: Cho tứ diện ABCD. Gọi I và J lần lượt là hai điểm di động trên các cạnh AD và BC sao cho \({{IA} \over {I{\rm{D}}}} = {{JB} \over {JC}}\). Chứng minh rằng IJ luôn luôn song song với một mặt phẳng cố định.
Qua I kẻ đường thẳng song song với CD cắt AC tại H, ta có:
\({{HA} \over {HC}} = {{IA} \over {I{\rm{D}}}}\)
Mặt khác \({{IA} \over {I{\rm{D}}}} = {{JB} \over {JC}}\)
Nên \({{HA} \over {HC}} = {{JB} \over {JC}}\)
Suy ra \(HJ\parallel AB\)
Như vậy mặt phẳng (IJH) song song với AB và CD.
Advertisements (Quảng cáo)
Gọi \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng qua AB và song song với CD, ta có
\(\left\{ \matrix{
\left( \alpha \right)\parallel \left( {IJH} \right) \hfill \cr
IJ \subset \left( {IJH} \right) \hfill \cr} \right. \Rightarrow IJ\parallel \left( \alpha \right)\)
Vậy IJ song song với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) cố định.
Bài 2.31: Cho hai tia Ax, By chéo nhau. Lấy M, N lần lượt là các điểm di động trên Ax, By. Gọi \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng chứa By và song song với Ax. Đường thẳng qua M và song song với AB cắt \(\left( \alpha \right)\) tại M’.
Advertisements (Quảng cáo)
a) Tìm tập hợp điểm M’.
b) Gọi I là trung điểm của MN. Tìm tập hợp các điểm I khi AM = BN
a) Gọi \(\left( \beta \right)\) là mặt phẳng xác định bởi hai đường thẳng AB và Ax
Do \(Ax\parallel \left( \alpha \right)\) nên \(\left( \beta \right)\) sẽ cắt \(\left( \alpha \right)\) theo giao tuyến Bx’ song song với Ax.
Ta có M’ là điểm chung của \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) nên M’ thuộc Bx’.
Khi M trùng A thì M’ trùng B nên tập hợp M’ là tia Bx’.
Ta có tứ giác ABM’M là hình bình hành nên BM’ = AM = BN.
Tam giác BM’N cân tại B.
Suy ra trung điểm I của cạnh đáy NM’ thuộc phân giác trong Bt của góc B trong tamgiác cân BNM’.Dễ thấy rằng Bt cố định.
Gọi O là trung điểm của AB. Trong mặt phẳng (AB, Bt), tứ giác OBIJ là hình bình hành nên \(\overrightarrow {JI} = \overrightarrow {BO} \).Do đó I là ảnh của J trong phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow {BO} \). Vậy tập hợp I là tia Ot’ song song với Bt.
