Bài 4: Cho hàm số \(f(x) = \frac{x +1}{x^{2}+x-6}\) và \(g(x) = tanx + sin x\).
Với mỗi hàm số, hãy xác định các khoảng trên đó hàm số liên tục.
+) Hàm số \(f(x) = \frac{x +1}{x^{2}+x-6}\) xác định khi và chỉ khi \(x^2+ x – 6 ≠ 0 \Leftrightarrow x ≠ -3\) và \(x ≠ 2\).
Hàm số \(f(x)\) liên tục trên các khoảng \((-∞; -3), (-3; 2)\) và \((2; +∞)\)
+) Hàm số \(g(x) = tanx + sinx\) xác định khi và chỉ khi
\(tanx ≠ 0\Leftrightarrow x ≠ \frac{\pi }{2} +kπ\) với \(k ∈ Z\).
Hàm số \(g(x)\) liên tục trên các khoảng \(( – \frac{\pi }{2}+kπ; \frac{\pi }{2}+kπ)\) với \(k ∈ \mathbb Z\).
Advertisements (Quảng cáo)
Bài 5: Ý kiến sau đúng hay sai ?
“Nếu hàm số \(y = f(x)\) liên tục tại điểm \(x_0\) còn hàm số \(y = g(x)\) không liên tục tại \(x_0\) thì
\(y = f(x) + g(x)\) là một hàm số không liên tục tại \(x_0\)”
Ý kiến đúng
Giả sử ngược lại \(y = f(x) + g(x)\) liên tục tại \(x_0\). Đặt \(h(x) = f(x) + g(x)\). Ta có \(g(x) = h(x) – f(x)\).
Advertisements (Quảng cáo)
Vì \(y = h(x)\) và \(y = f(x)\) liên tục tại \(x_0\) nên hiệu của chúng là hàm số \(y = g(x)\) phải liên tục tại \(x_0\). Điều này trái với giả thiết là \(y = g(x)\) không liên tục tại \(x_0\).
Bài 6: Chứng minh rằng phương trình:
a) \(2x^3- 6x + 1 = 0\) có ít nhất hai nghiệm;
b) \(cosx = x\) có nghiệm.
a) Hàm số \(fx)=2x^3-6x + 1 = 0\) là hàm đa thức nên liên tục trên \(\mathbb R\).
Ta có: \(f(0).f(1) = 1.(-3) < 0\) nên phương trình có nghiệm trong khoảng \((0; 1)\).
\(f(-2).f(0)=-5<0\) nên phương trình có nghiệm trong khoảng \((-2; 0)\).
Do đó phương trình \(f(x) = 0\) có ít nhất hai nghiệm.
b) Hàm số \(g(x) = cosx – x\) xác định trên \(\mathbb R\) nên liên tục trên \(\mathbb R\).
Mặt khác, ta có \(g(0).g(\frac{\pi }{2}) = 1. (-\frac{\pi }{2}) < 0\) nên phương trình đã cho có nghiệm trong khoảng \((0; \frac{\pi }{2})\).
