Bài 1: Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là cấp số cộng? Tính số hạng đầu và công sai của nó:
a) \(u_n= 5 – 2n\); b) \(u_n= \frac{n}{2}- 1\);
c) \(u_n= 3^n\) ; d) \(u_n= \frac{7-3n}{2}\)
a) Với mọi \(n\in {\mathbb N}^*\),\(u_{n+1}-u_n = -2\)
Vậy dãy số là cấp số cộng có \(u_1= 3\) và công sai \(d = -2\).
b) Với mọi \(n\in {\mathbb N}^*\), \(u_{n+1}-u_n= \frac{n+1}{2} – 1 – ( \frac{n}{2}- 1) = \frac{1}{2}\).
Vậy dãy số là cấp số cộng với \(u_1= – \frac{1}{2}\) và \(d = \frac{1}{2}\).
c) Ta có \(u_{n+1}-u_n = 2.3^n\) không là hằng số (phụ thuộc \(n\)), vậy dãy số không phải là cấp số cộng.
d) Với mọi \(n\in {\mathbb N}^*\), \(u_{n+1}-u_n= \frac{7-3(n+1)}{2}-\frac{7-3n}{2}=-\frac{3}{2}\)
Vậy dãy số là cấp số cộng có \(u_1 = 2\), \(d = -\frac{3}{2}\).
Bài 2: Tìm số hạng đầu và công sai của các cấp số cộng sau, biết:
a) \( \left\{\begin{matrix} u_{1}-u_{3}+u_{5}=10\\ u_{1}+u_{6=17} \end{matrix}\right.\),
b) \( \left\{\begin{matrix} u_{7}-u_{3}=8\\ u_{2}.u_{7}=75 \end{matrix}\right.\).
:
Sử dụng công thức \(u_n= u_1+ (n – 1)d\).
a) Từ hệ thức đã cho ta có:
\( \left\{\begin{matrix} u_{1}-u_{1}-2d+u_{1}+4d=10\\ u_{1}+u_{1}+5d =17 \end{matrix}\right.\) hay \( \left\{\begin{matrix} u_{1}+2d=10\\ 2u_{1}+5d = 17 \end{matrix}\right.\)
.Giải hệ ta được: \(u_1= 16, d = -3\).
b) Từ hệ đã cho ta có:
\( \left\{\begin{matrix} u_{1}+6d-u_{1}-2d =8\\ (u_{1}+d)(u_{1}+6d)=75 \end{matrix}\right.\) hay \( \left\{\begin{matrix} 2d =4\\ (u_{1}+d)(u_{1}+6d)=75 \end{matrix}\right.\)
Advertisements (Quảng cáo)
Giải hệ ta được: \(u_1= 3\) và \(d = 2\) hoặc \(u_1= -17\) và \(d = 2\)
Bài 3: Trong các bài toán về cấp số cộng, ta thường gặp năm đại lượng \(u_1, n, d, u_n, S_n\).
a) Hãy viết các hệ thức liên hệ giữa các đại lượng để có thể tìm được các đại lượng còn lại?
b) Lập bảng theo mẫu sau và điền vào chỗ trống thích hợp:
a) Cần biết ít nhất ba trong năm đại lượng \(u_1, n, d, u_n, S_n\) thì có thể tính được hai đại lượng còn lại.
b) Thực chất đây là năm bài tập nhỏ, mỗi bài ứng với các dữ liệu ở một dòng. Học sinh phải giải từng bài nhỏ rồi mới điền kết quả.
b1) Biết \(u_1= -2, u_n= 55, n = 20\). Tìm \(d, S_n\)
Advertisements (Quảng cáo)
Áp dụng công thức \(d = {{{u_n} – {u_1}} \over {n – 1}},{S_n} = {{({u_1} + {u_n}).n} \over 2}\)
Đáp số: \(d = 3, S_{20}= 530\).
b2) Biết \(d = -4, n = 15\), \(S_n= 120\). Tìm \(u_1,u_n\)
Áp dụng công thức \(u_n= u_1+ (n – 1)d\) và \({S_n} = {{({u_1} + {u_n}).n} \over 2}\)
ta có:
\(\left\{ \matrix{
{u_1} – {u_{15}} = 56 \hfill \cr
{u_1} + {u_{15}} = 16 \hfill \cr} \right.\)
Giải hệ trên, ta được \(u_1= 36, u_{15}= – 20\).
b3) Áp dụng công thức \(u_n= u_1+ (n – 1)d\), từ đây ta tìm được \(n\); tiếp theo áp dụng công thức \({S_n} = {{({u_1} + {u_n}).n} \over 2}\). Đáp số: \(n = 28\), \(S_n= 140\).
b4) Áp dụng công thức \({S_n} = {{({u_1} + {u_n}).n} \over 2}\), từ đây tìm được \(u_1\), tiếp theo áp dụng công thức \(u_n= u_1+ (n – 1)d\) để tìm \(d\). Đáp số: \(u_1= -5, d= 2\).
b5) Áp dụng công thức \({S_n} = {{\left[ {2{u_1} + (n – 1)d} \right].n} \over 2}\), từ đây tìm được \(n\), tiếp theo áp dụng công thức \(u_n= u_1+ (n – 1)d\). Đáp số: \(n = 10, u_n= -43\).
Bài 4: Mặt sàn tầng một của một ngôi nhà cao hơn mặt sân \(0,5 m\). Cầu thang đi từ tầng một lên tầng \(2\) gồm \(21\) bậc, mỗi bậc cao \(18 cm\).
a) Hãy viết công thức để tìm độ cao của một bậc tuỳ ý so với mặt sân.
b) Tính độ cao của sàn tầng hai so với mặt sân.
a) Gọi chiều cao của bậc thứ \(n\) so với mặt sân là \(h_n\)
Ta có: \( h_n= 0,5 + n.0,18(m)\).
b) Chiều cao mặt sàn tầng hai so với mặt sân là
\(h_{21}= 0,5 + 21.0,18 = 4,28 (m)\).
Bài 5: Từ \(0\) giờ đến \(12\) giờ trưa, đồng hồ đánh bao nhiêu tiếng, nếu nó chỉ đánh chuông báo giờ và số tiếng chuông bằng số giờ
Đồng hồ đánh số tiếng chuông là: \(S = 1 + 2 + 3 +…+ 12\). Đây là tổng của \(12\) số hạng của cấp số cộng có \(u_1= 1, u_{12}= 12\). Do đó áp dụng công thức tính tổng,
ta có \(S = \frac{(1+12).12}{2} = 78\).
Vậy đồng hồ đánh \(78\) tiếng chuông.
