Bài 9: Cho a, b, c, d là những số dương; x, y, z là những số thực tùy ý. Chứng minh rằng:
\({(\sqrt a + \sqrt b )^2} \ge 2\sqrt {2(a + b)\sqrt {ab} } \)
\({(\sqrt a + \sqrt b )^2} = a + b + 2\sqrt {ab} \ge 2\sqrt {(a + b).2\sqrt {ab} } \)
Bài 10: Cho a, b, c, d là những số dương; x, y, z là những số thực tùy ý. Chứng minh rằng:
\({1 \over a} + {1 \over b} + {1 \over c} \ge {9 \over {a + b + c}}\)
Advertisements (Quảng cáo)
\((a + b + c)({1 \over a} + {1 \over b} + {1 \over c}) = 1 + 1 + 1 + ({a \over b} + {b \over a}) + ({a \over c} + {c \over a}) + ({b \over c} + {c \over b})\)
\( \ge 3 + 2 + 2 + 2 = 9 = > {1 \over a} + {1 \over b} + {1 \over c} \ge {9 \over {a + b + c}}\)
Bài 11: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
Advertisements (Quảng cáo)
\(y = {4 \over x} + {9 \over {1 – x}}\) với 0 < x < 1.
\(y = {{4(x + 1 – x)} \over x} + {{9(x + 1 – x)} \over {1 – x}}\)
=\(4 + 9 + {{4(1 – x)} \over x} + 9.{x \over {1 – x}} \ge 13 + 2\sqrt {4.{{(1 – x)} \over x}.9.{x \over {1 – x}}} = 25\)
=> \(y \ge 25,\forall x \in (0;1)\)
Đẳng thức y = 25 xảy ra khi và chỉ khi
\(\left\{ \matrix{
{{4(1 – x)} \over x} = {{9x} \over {1 – x}} = 6 \hfill \cr
x \in (0;1) \hfill \cr} \right.\)
hay \(x = {2 \over 5}\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho bằng 25 đạt tại \(x = {2 \over 5}\).
