Trang Chủ Sách bài tập lớp 10 SBT Toán 10

Bài 2.13, 2.14, 2.15, 2.16 trang 91 Sách BT Toán Hình học 10: Cho tam giác ABC có AB = 5cm, BC = 7cm, CA = 8 cm. Tính tích vô hướng của các vectơ

Bài 2 Tích vô hướng của hai vecto Sách bài tập Toán Hình học 10. Giải bài 2.13, 2.14, 2.15, 2.16 trang 91 Sách bài tập Toán Hình học 10. Câu 2.13: Cho hai vec tơ…

Bài 2.13: Cho hai vec tơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \)  đều khác \(\overrightarrow 0 \). Tích vô hướng \(\overrightarrow a .\overrightarrow b \) khi nào dương, khi nào âm và  khi nào bằng 0?

Ta có: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|\cos (\overrightarrow a ,\overrightarrow b )\)

Do đó: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  > 0\) khi \(\cos (\overrightarrow a ,\overrightarrow b ) > 0\) nghĩa là \(0 \le (\overrightarrow a ,\overrightarrow b ) \le {90^0}\)

\(\overrightarrow a .\overrightarrow b  < 0\) khi \(\cos (\overrightarrow a ,\overrightarrow b ) < 0\) nghĩa là \({90^0} \le (\overrightarrow a ,\overrightarrow b ) \le {180^0}\)

\(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = 0\) khi \(\cos (\overrightarrow a ,\overrightarrow b ) = 0\) nghĩa là \((\overrightarrow a ,\overrightarrow b ) = {90^0}\)

Bài 2.14: Áp dụng tính chất giao hoán và tính chất phân phối của tích vô hướng hãy chứng minh các kết quả sau đây:

\({(\overrightarrow a  + \overrightarrow b )^2} = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} + 2\overrightarrow a .\overrightarrow b \)

\({(\overrightarrow a  – \overrightarrow b )^2} = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} – 2\overrightarrow a .\overrightarrow b \)

\((\overrightarrow a  + \overrightarrow b )(\overrightarrow a  – \overrightarrow b ) = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} – {\left| {\overrightarrow b } \right|^2}\)

\(\eqalign{
& {(\overrightarrow a + \overrightarrow b )^2} = (\overrightarrow a + \overrightarrow b ).(\overrightarrow a + \overrightarrow b ) \cr
& = \overrightarrow a .\overrightarrow a + \overrightarrow a .\overrightarrow b + \overrightarrow b .\overrightarrow a + \overrightarrow b .\overrightarrow b \cr} \)

\(= {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} + 2\overrightarrow a .\overrightarrow b \)

Advertisements (Quảng cáo)

Các tính chất còn lại được chứng minh tương tự.

Bài 2.15: Tam giác ABC vuông tại A và có  AB = AC = a. Tính:

a) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \)

b) \(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} \)

c) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} \)

(h2.20)

Advertisements (Quảng cáo)

\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = 0\)

\(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC}  = a.a\sqrt 2 .\cos {45^0} = {a^2}\)

\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC}  = a.a\sqrt 2 .\cos {135^0} =  – {a^2}\)

Bài 2.16: Cho tam giác ABC có AB = 5 cm, BC = 7 cm, CA = 8 cm.

a) Tính \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \) rồi suy ra giá trị của góc A;

b) Tính \(\overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB} \)

a) Ta có:

\(B{C^2} = {\overrightarrow {BC} ^2} = {(\overrightarrow {AC}  – \overrightarrow {AB} )^2}\)

\({\overrightarrow { = AC} ^2} + {\overrightarrow {AB} ^2} – 2\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} \)

Do đó:

\(\eqalign{
& \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = {{{{\overrightarrow {AC} }^2} + {{\overrightarrow {AB} }^2} – {{\overrightarrow {BC} }^2}} \over 2} \cr
& = {{{8^2} + {5^2} – {7^2}} \over 2} = 20 \cr} \)

Mặt khác:

\(\eqalign{
& \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = AB.AC.cosA \cr
& = 5.8.cosA = 20 \cr} \)

Suy ra \(\cos A = {{20} \over {40}} = {1 \over 2} =  > \widehat A = {60^0}\)

b) Ta có:

\(\eqalign{
& B{A^2} = {\overrightarrow {BA} ^2} = {(\overrightarrow {CA} – \overrightarrow {CB} )^2} \cr
& = {\overrightarrow {CA} ^2} + {\overrightarrow {CB} ^2} – 2\overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB} \cr} \)

Do đó:

\(\eqalign{
& \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB} = {1 \over 2}({\overrightarrow {CA} ^2} + {\overrightarrow {CB} ^2} – {\overrightarrow {BA} ^2}) \cr
& = {1 \over 2}({8^2} + {7^2} – {5^2}) = 44 \cr} \)

Advertisements (Quảng cáo)