Bài 2.13: Cho hai vec tơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) đều khác \(\overrightarrow 0 \). Tích vô hướng \(\overrightarrow a .\overrightarrow b \) khi nào dương, khi nào âm và khi nào bằng 0?
Ta có: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|\cos (\overrightarrow a ,\overrightarrow b )\)
Do đó: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b > 0\) khi \(\cos (\overrightarrow a ,\overrightarrow b ) > 0\) nghĩa là \(0 \le (\overrightarrow a ,\overrightarrow b ) \le {90^0}\)
\(\overrightarrow a .\overrightarrow b < 0\) khi \(\cos (\overrightarrow a ,\overrightarrow b ) < 0\) nghĩa là \({90^0} \le (\overrightarrow a ,\overrightarrow b ) \le {180^0}\)
\(\overrightarrow a .\overrightarrow b = 0\) khi \(\cos (\overrightarrow a ,\overrightarrow b ) = 0\) nghĩa là \((\overrightarrow a ,\overrightarrow b ) = {90^0}\)
Bài 2.14: Áp dụng tính chất giao hoán và tính chất phân phối của tích vô hướng hãy chứng minh các kết quả sau đây:
\({(\overrightarrow a + \overrightarrow b )^2} = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} + 2\overrightarrow a .\overrightarrow b \)
\({(\overrightarrow a – \overrightarrow b )^2} = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} – 2\overrightarrow a .\overrightarrow b \)
\((\overrightarrow a + \overrightarrow b )(\overrightarrow a – \overrightarrow b ) = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} – {\left| {\overrightarrow b } \right|^2}\)
\(\eqalign{
& {(\overrightarrow a + \overrightarrow b )^2} = (\overrightarrow a + \overrightarrow b ).(\overrightarrow a + \overrightarrow b ) \cr
& = \overrightarrow a .\overrightarrow a + \overrightarrow a .\overrightarrow b + \overrightarrow b .\overrightarrow a + \overrightarrow b .\overrightarrow b \cr} \)
\(= {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} + 2\overrightarrow a .\overrightarrow b \)
Advertisements (Quảng cáo)
Các tính chất còn lại được chứng minh tương tự.
Bài 2.15: Tam giác ABC vuông tại A và có AB = AC = a. Tính:
a) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \)
b) \(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} \)
c) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} \)
(h2.20)
Advertisements (Quảng cáo)
\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 0\)
\(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} = a.a\sqrt 2 .\cos {45^0} = {a^2}\)
\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} = a.a\sqrt 2 .\cos {135^0} = – {a^2}\)
Bài 2.16: Cho tam giác ABC có AB = 5 cm, BC = 7 cm, CA = 8 cm.
a) Tính \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \) rồi suy ra giá trị của góc A;
b) Tính \(\overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB} \)
a) Ta có:
\(B{C^2} = {\overrightarrow {BC} ^2} = {(\overrightarrow {AC} – \overrightarrow {AB} )^2}\)
\({\overrightarrow { = AC} ^2} + {\overrightarrow {AB} ^2} – 2\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} \)
Do đó:
\(\eqalign{
& \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = {{{{\overrightarrow {AC} }^2} + {{\overrightarrow {AB} }^2} – {{\overrightarrow {BC} }^2}} \over 2} \cr
& = {{{8^2} + {5^2} – {7^2}} \over 2} = 20 \cr} \)
Mặt khác:
\(\eqalign{
& \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = AB.AC.cosA \cr
& = 5.8.cosA = 20 \cr} \)
Suy ra \(\cos A = {{20} \over {40}} = {1 \over 2} = > \widehat A = {60^0}\)
b) Ta có:
\(\eqalign{
& B{A^2} = {\overrightarrow {BA} ^2} = {(\overrightarrow {CA} – \overrightarrow {CB} )^2} \cr
& = {\overrightarrow {CA} ^2} + {\overrightarrow {CB} ^2} – 2\overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB} \cr} \)
Do đó:
\(\eqalign{
& \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB} = {1 \over 2}({\overrightarrow {CA} ^2} + {\overrightarrow {CB} ^2} – {\overrightarrow {BA} ^2}) \cr
& = {1 \over 2}({8^2} + {7^2} – {5^2}) = 44 \cr} \)
