Trang Chủ Bài tập SGK lớp 10 Bài tập Toán 10 Nâng cao Bài 8, 9, 10, 11 trang 52 Hình học 10 nâng cao:...

Bài 8, 9, 10, 11 trang 52 Hình học 10 nâng cao: Tích vô hướng của hai vecto

CHIA SẺ
 Bài 2 Tích vô hướng của hai vecto. Giải bài 8, 9, 10, 11 trang 52 SGK Hình học lớp 10 nâng cao. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để; Chứng minh rằng bốn điểm \(A, B, C, D\) cùng nằm trên một đường tròn.

Bài 8: Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) là \(\overrightarrow {BA} .\,\overrightarrow {BC}  = A{B^2}\).

Ta có \(\overrightarrow {BA} .\,\overrightarrow {BC}  = {\overrightarrow {BA} ^2}\,\, \Leftrightarrow \,\,\overrightarrow {BA} (\overrightarrow {BC}  – \overrightarrow {BA} ) = 0\)

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {BA} .\,\overrightarrow {AC}  = 0\,\, \Leftrightarrow \,\,BA \bot AC\)

\( \Leftrightarrow \)  Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\).


Bài 9: Cho tam giác \(ABC\) với ba đường trung tuyến \(AD, BE, CF\). Chứng minh rằng

\(\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {BE}  + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CF}  = 0\).

 

Ta có \(\overrightarrow {AD}  = {1 \over 2}(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} )\)

\(\eqalign{
& \overrightarrow {BE} = {1 \over 2}(\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} ) \cr
& \overrightarrow {CF} = {1 \over 2}(\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} ) \cr} \)

Do đó  \(\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {BE}  + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CF} \)

\(\eqalign{
& = {1 \over 2}\overrightarrow {BC} (\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} ) + {1 \over 2}\overrightarrow {CA} (\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} ) + {1 \over 2}\overrightarrow {AB} (\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} ) \cr
& = {1 \over 2}(\overrightarrow {BC} \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CA} \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {CA} \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AB} \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AB} \overrightarrow {CB} )\cr
& = {1 \over 2}(\overrightarrow {BC} \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AB} \overrightarrow {CB} ) + {1 \over 2}(\overrightarrow {BC} \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CA} \overrightarrow {BC} ) + {1 \over 2}(\overrightarrow {CA} \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AB} \overrightarrow {CA} ) = 0 \cr} \)

(điều phải chứng minh)


Bài 10: Cho hai điểm \(M, N\) nằm trên đường tròn đường kính \(AB = 2R\). Gọi \(I\) là giao điểm của hai đường thẳng \(AM, BN\).

a) Chứng minh rằng \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AI}  = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AI} \,\,;\,\,\overrightarrow {BN} .\overrightarrow {BI}  = \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BI}.\)

b) Tính \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AI}  + \,\,\overrightarrow {BN} .\overrightarrow {BI} \) theo \(R\).

- Quảng cáo -

 

a) Ta có \(\overrightarrow {AM} .\,\overrightarrow {AI}  = (\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BM} ).\,\overrightarrow {AI}  = \overrightarrow {AB} .\,\overrightarrow {AI}  + \overrightarrow {BM} .\,\overrightarrow {AI}  = \overrightarrow {AB} .\,\overrightarrow {AI} \) ( vì \(\overrightarrow {BM} .\,\overrightarrow {AI}  = 0\) ).

Tương tự, \(\overrightarrow {BN} .\,\overrightarrow {BI}  = (\overrightarrow {BA}  + \,\overrightarrow {AN} ).\,\overrightarrow {BI}  = \overrightarrow {BA} .\,\overrightarrow {BI}  + \overrightarrow {AN} .\,\overrightarrow {BI}  = \overrightarrow {BA} .\,\overrightarrow {BI} \) ( vì \(\overrightarrow {AN} .\,\overrightarrow {BI}  = 0\) ).

b)  Theo câu a), \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AI}  + \overrightarrow {BN} .\overrightarrow {BI}  = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AI} \, + \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BI} \)

\( = \overrightarrow {AB} (\overrightarrow {AI}  – \overrightarrow {BI} ) = \overrightarrow {AB} .\,\overrightarrow {AB}  = A{B^2} = 4{R^2}.\)


Bài 11: Cho hai đường thẳng \(a\) và \(b\) cắt nhau tại \(M\). Trên \(a\) có hai điểm \(A\) và \(B\), trên \(b\) có hai điểm \(C\) và \(D\) đều khác \(M\) sao cho \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB}  = \overrightarrow {MC} .\overrightarrow {MD} \,\,\). Chứng minh rằng bốn điểm \(A, B, C, D\) cùng nằm trên một đường tròn.

 

Gọi \((O)\) là đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\). Gọi \(D’\) là giao điểm của \(b\) với \((O)\) ( \({D’} \ne C\)).

Theo giả thiết ta có \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB}  = \overrightarrow {MC} .\overrightarrow {M{D’}} \,\,\)

\(\eqalign{
& \Rightarrow \,\,\overrightarrow {MC} .\overrightarrow {MD} = \overrightarrow {MC} .\overrightarrow {M{D’}} \cr
& \Rightarrow \,\,\overrightarrow {MC} (\overrightarrow {MD} – \overrightarrow {M{D’}} ) = 0 \cr
& \Rightarrow \,\,\overrightarrow {MC} .\,\overrightarrow {{D’}D} = 0\,\,\,\, \cr} \)

\(\Rightarrow \,\overrightarrow {{D’}D}  = 0\)  (Do \(M, C, D, D’\) cùng thuộc đường thẳng b)

\( \Rightarrow D \equiv {D’}\).

Vậy bốn điểm \(A, B, C, D\) cùng nằm trên một đường tròn.