Trang Chủ Bài tập SGK lớp 10 Bài tập Toán 10 Nâng cao Bài 27, 28, 29, 30 trang 66 Hình học 10 nâng cao:...

Bài 27, 28, 29, 30 trang 66 Hình học 10 nâng cao: Hệ thức lượng trong tam giác

CHIA SẺ
 Bài 3 Hệ thức lượng trong tam giác. Giải bài 27, 28, 29, 30 trang 66 SGK Hình học lớp 10 nâng cao. Chứng minh rằng trong một hình bình hành, tổng bình phương các cạnh bằng tổng bình phương của hai đường chéo; Tính diện tích tam giác đó.

Bài 27: Chứng minh rằng trong một hình bình hành, tổng bình phương các cạnh bằng tổng bình phương của hai đường chéo.

 

Áp dụng công thức tính trung tuyến \(AO\) trong tam giác \(ABD\), ta có

\(\eqalign{
& A{O^2} = {{A{B^2} + A{D^2}} \over 2} – {{B{D^2}} \over 4}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \cr
& \Rightarrow \,\,\,4A{O^2} = 2(A{B^2} + A{D^2}) – B{D^2}\,\, \cr
& \Rightarrow \,\,\,A{C^2} + B{D^2} = 2(A{B^2} + A{D^2}) = A{B^2} + A{D^2} + D{C^2} + B{C^2} \cr} \)


Bài 28:  Chứng minh rằng tam giác \(ABC\) vuông ở \(A\) khi và chỉ khi \(5m_a^2 = m_b^2 + m_c^2\).

Ta có \(5m_a^2 = m_b^2 + m_c^2\)

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow \,\,\,5\left( {{{{b^2} + {c^2}} \over 2} – {{{a^2}} \over 4}} \right) = {{{a^2} + {c^2}} \over 2} – {{{b^2}} \over 4} + {{{a^2} + {b^2}} \over 2} – {{{c^2}} \over 4} \cr
& \Leftrightarrow \,\,\,5\left( {2{b^2} + 2{c^2} – {a^2}} \right) = 2{a^2} + 2{c^2} – {b^2} + 2{a^2} + 2{b^2} – {c^2} \cr
& \Leftrightarrow \,\,\,{b^2} + {c^2} = {a^2} \cr} \)

\( \Leftrightarrow \)  Tam giác \(ABC\) vuông ở \(A\).

Bài 29: Tam giác \(ABC\) có \(b = 6,12\,;\,c = 5,35\,;\,\widehat A = {84^0}\). Tính diện tích tam giác đó.

Ta có \({S_{ABC}} = {1 \over 2}.b.c.\sin A = {1 \over 2}.(6,12)\,.(5,35)\,.\sin {84^0} \approx 16,3\).

- Quảng cáo -


Bài 30: Cho tứ giác \(ABCD\). Gọi \(M, N\) lần lượt là trung điểm của \(AC\) và \(BD\). Chứng minh rằng \(A{B^2} + B{C^2} + C{D^2} + D{A^2} = A{C^2} + B{D^2} + 4M{N^2}\).

 

Áp dụng công thức tính trung tuyến, \(MN\) là trung tuyến của tam giác \(BMD\), ta có

\(M{N^2} = {{B{M^2} + D{M^2}} \over 2} – {{B{D^2}} \over 4}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,4M{N^2} = 2(B{M^2} + D{M^2}) – B{D^2}\,\,\,(1)\)

Tương tự, \(BM, DM\) lần lượt là trung tuyến của tam giác \(ABC, ADC\) nên

\(\eqalign{
& 4B{M^2} = 2(A{B^2} + B{C^2}) – A{C^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2) \cr
& 4D{M^2} = 2(D{A^2} + C{D^2}) – A{C^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3) \cr} \)

Từ (2), (3) suy ra

\(2(B{M^2} + D{M^2}) = A{B^2}\, + B{C^2} + C{D^2} + D{A^2} – A{C^2}\,\,(4)\)

Thay (4) vào (1), ta có

\(\eqalign{
& \,\,\,\,\,\,\,\,4M{N^2} = A{B^2} + B{C^2} + C{D^2} + D{A^2} – A{C^2} – B{D^2} \cr
& \Rightarrow \,\,\,A{B^2} + B{C^2} + C{D^2} + D{A^2} = A{C^2} + B{D^2} + 4M{N^2} \cr} \)