Câu 1: Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau chứng minh các đẳng thức sau:
a. \({{{x^2}{y^3}} \over 5} = {{7{x^3}{y^4}} \over {35xy}}\)
b. \({{{x^2}\left( {x + 2} \right)} \over {x{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = {x \over {x + 2}}\)
c. \({{3 – x} \over {3 + x}} = {{{x^2} – 6x + 9} \over {9 – {x^2}}}\)
d. \({{{x^3} – 4x} \over {10 – 5x}} = {{ – {x^2} – 2x} \over 5}\)
a. \({x^2}{y^3}.35xy = 35{x^3}{y^4};5.7{x^3}{y^4} = 35{x^3}{y^4}\)
\( \Rightarrow {x^2}{y^3}.35xy = 5.7{x^3}{y^4}\). Vậy \({{{x^2}{y^3}} \over 5} = {{7{x^3}{y^4}} \over {35xy}}\)
b. \({x^2}\left( {x + 2} \right).\left( {x + 2} \right) = {x^2}{\left( {x + 2} \right)^2};x{\left( {x + 2} \right)^2}.x = {x^2}{\left( {x + 2} \right)^2}\)
\( \Rightarrow {x^2}\left( {x + 2} \right).\left( {x + 2} \right) = x{\left( {x + 2} \right)^2}x\).
Vậy \({{{x^2}\left( {x + 2} \right)} \over {x{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = {x \over {x + 2}}\)
c. \(\left( {3 – x} \right)\left( {9 – {x^2}} \right) = 27 – 3{x^2} – 9x + {x^3}\)
\(\left( {3 + x} \right)\left( {{x^2} – 6x + 9} \right) = 3{x^2} – 18x + 27 + {x^3} – 6{x^2} + 9x = 27 – 3{x^2} – 9x + {x^3}\)
\( \Rightarrow \left( {3 – x} \right)\left( {9 – {x^2}} \right) = \left( {3 + x} \right)\left( {{x^2} – 6x + 9} \right)\).
Vậy \({{3 – x} \over {3 + x}} = {{{x^2} – 6x + 9} \over {9 – {x^2}}}\)
d. \(\left( {{x^3} – 4x} \right).5 = 5{x^3} – 20x;\left( {10 – 5x} \right)\left( { – {x^2} – 2x} \right) = – 10{x^2} – 20x + 5{x^3} + 10{x^2} = 5{x^3} – 20x\)
\( \Rightarrow \left( {{x^3} – 4x} \right).5 = \left( {10 – 5x} \right)\left( { – {x^2} – 2x} \right)\)
Vậy \({{{x^3} – 4x} \over {10 – 5x}} = {{ – {x^2} – 2x} \over 5}\)
Câu 2: Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau, hãy tìm đa thức A trong mỗi đẳng thức sau:
a. \({A \over {2x – 1}} = {{6{x^2} + 3x} \over {4{x^2} – 1}}\)
b. \({{4{x^2} – 3x – 7} \over A} = {{4x – 7} \over {2x + 3}}\)
c. \({{4{x^2} – 7x + 3} \over {{x^2} – 1}} = {A \over {{x^2} + 2x + 1}}\)
d. \({{{x^2} – 2x} \over {2{x^2} – 3x – 2}} = {{{x^2} + 2x} \over A}\)
a. \({A \over {2x – 1}} = {{6{x^2} + 3x} \over {4{x^2} – 1}}\)
\( \Rightarrow A\left( {4{x^2} – 1} \right) = \left( {2x – 1} \right).\left( {6{x^2} + 3x} \right)\)
\( \Rightarrow A\left( {2x – 1} \right)\left( {2x + 1} \right) = \left( {2x – 1} \right).3x\left( {2x + 1} \right)\)
\( \Rightarrow A = 3x\)
Ta có: \({{3x} \over {2x – 1}} = {{6{x^2} + 3x} \over {4{x^2} – 1}}\)
Advertisements (Quảng cáo)
b. \({{4{x^2} – 3x – 7} \over A} = {{4x – 7} \over {2x + 3}}\)
\(\eqalign{ & \Rightarrow \left( {4{x^2} – 3x – 7} \right)\left( {2x + 3} \right) = A\left( {4x – 7} \right) \cr & \Rightarrow \left( {4{x^2} + 4x – 7x – 7} \right)\left( {2x + 3} \right) = A\left( {4x – 7} \right) \cr & \Rightarrow \left[ {4x\left( {x + 1} \right) – 7\left( {x + 1} \right)} \right]\left( {2x + 3} \right) = A\left( {4x – 7} \right) \cr & \Rightarrow \left( {x – 1} \right)\left( {4x – 7} \right)\left( {2x + 3} \right) = A\left( {4x – 7} \right) \cr & \Rightarrow A = \left( {x + 1} \right)\left( {2x + 3} \right) = 2{x^2} + 3x + 2x + 3 = 2{x^2} + 5x + 3 \cr} \)
Ta có: \({{4{x^2} – 3x – 7} \over {2{x^2} + 5x + 3}} = {{4x – 7} \over {2x + 3}}\)
c. \({{4{x^2} – 7x + 3} \over {{x^2} – 1}} = {A \over {{x^2} + 2x + 1}}\)
\(\eqalign{ & \Rightarrow \left( {4{x^2} – 7x + 3} \right).\left( {{x^2} + 2x + 1} \right) = A.\left( {{x^2} – 1} \right)\left( {{\pi \over 2} – \theta } \right) \cr & \Rightarrow \left( {4{x^2} – 4x – 3x + 3} \right).{\left( {x + 1} \right)^2} = A\left( {x + 1} \right)\left( {x – 1} \right) \cr & \Rightarrow \left[ {4x\left( {x – 1} \right) – 3\left( {x – 1} \right)} \right].{\left( {x + 1} \right)^2} = A\left( {x + 1} \right)\left( {x – 1} \right) \cr & \Rightarrow \left( {x – 1} \right)\left( {4x – 3} \right){\left( {x + 1} \right)^2} = A\left( {x + 1} \right)\left( {x – 1} \right) \cr & \Rightarrow A = \left( {4x – 3} \right)\left( {x + 1} \right) = 4{x^2} + 4x – 3x – 3 = 4{x^2} + x – 3 \cr} \)
Ta có: \({{4{x^2} – 7x + 3} \over {{x^2} – 1}} = {{4{x^2} + x – 3} \over {{x^2} + 2x + 1}}\)
d. \({{{x^2} – 2x} \over {2{x^2} – 3x – 2}} = {{{x^2} + 2x} \over A}\)
\(\eqalign{ & \Rightarrow \left( {{x^2} – 2x} \right).A = \left( {2{x^2} – 3x – 2} \right)\left( {{x^2} + 2x} \right) \cr & \Rightarrow x\left( {x – 2} \right).A = \left( {2{x^2} – 4x + x – 2} \right).x\left( {x + 2} \right) \cr & \Rightarrow x\left( {x – 2} \right).A = \left[ {2x\left( {x – 2} \right) + \left( {x – 2} \right)} \right].x\left( {x + 2} \right) \cr & \Rightarrow x\left( {x – 2} \right).A = \left( {2x + 1} \right)\left( {x – 2} \right).x.\left( {x + 2} \right) \cr & \Rightarrow A = \left( {2x + 1} \right)\left( {x + 2} \right) = 2{x^2} + 4x + x + 2 = 2{x^2} + 5x + 2 \cr} \)
Ta có : \({{{x^2} – 2x} \over {2{x^2} – 3x – 2}} = {{{x^2} + 2x} \over {{x^2} + 2x + 1}}\)
Câu 3: Bạn Lan viết các đẳng thức sau và đố các bạn trong nhóm học tập tìm ra chỗ sai. Em hãy sửa chỗ sai cho đúng.
a. \({{5x + 3} \over {x – 2}} = {{5{x^2} + 13x + 6} \over {{x^2} – 4}}\)
b. \({{x + 1} \over {x + 3}} = {{{x^2} + 3} \over {{x^2} + 6x + 9}}\)
c. \({{{x^2} – 2} \over {{x^2} – 1}} = {{x + 2} \over {x + 1}}\)
d. \({{2{x^2} – 5x + 3} \over {{x^2} + 3x – 4}} = {{2{x^2} – x – 3} \over {{x^2} + 5x + 4}}\)
a. \(\left( {5x + 3} \right)\left( {{x^2} – 4} \right) = 5{x^3} – 20x + 3{x^3} – 12\)
\(\left( {x – 2} \right)\left( {5{x^2} + 13x + 6} \right) = 5{x^3} + 13{x^2} + 6x – 10{x^2} – 26x – 12 = 5{x^3} – 20x + 3{x^2} – 12\)
Advertisements (Quảng cáo)
Đẳng thức đúng.
b. \(\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 6x + 9} \right) = {x^3} + 6{x^2} + 9x + {x^2} + 6x + 9 = {x^3} + 7{x^2} + 15x + 9\)
\(\left( {x + 3} \right)\left( {{x^2} + 3} \right) = {x^3} + 3x + 3{x^2} + 9 \Rightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 6x + 9} \right) \ne \left( {x + 3} \right)\left( {{x^2} + 3} \right)\)
Đẳng thức sai
\({{x + 1} \over {x + 3}} \ne {{{x^2} + 3} \over {{x^2} + 6x + 9}}\).
Sửa lại \({{x + 1} \over {x + 3}} = {{{x^2} + 4x + 3} \over {{x^2} + 6x + 9}}\)
c. \(\left( {{x^2} – 2} \right)\left( {x + 1} \right) = {x^3} + {x^2} – 2x – 2\)
\(\left( {{x^2} – 1} \right)\left( {x + 2} \right) = {x^3} + 2{x^2} – x – 2\)
\(\left( {{x^2} – 2} \right)\left( {x + 1} \right) \ne \left( {{x^2} – 1} \right)\left( {x + 2} \right)\)
Đẳng thức sai
\({{{x^2} – 2} \over {{x^2} – 1}} = {{x + 2} \over {x + 1}}\).
Sửa lại \({{{x^2} + x – 2} \over {{x^2} – 1}} = {{x + 2} \over {x + 1}}\)
d. \(\left( {2{x^2} – 5x + 3} \right)\left( {{x^2} + 5x + 4} \right)\)
\( = 2{x^4} + 10{x^3} + 8{x^2} – 5{x^3} – 25{x^2} – 20x + 3{x^2} + 15x + 12\)
\(\eqalign{ & = 2{x^4} + 5{x^3} – 14{x^2} – 5x + 12 \cr & \left( {{x^2} + 3x – 4} \right)\left( {2{x^2} – x – 3} \right) = 2{x^4} – {x^3} – 3{x^2} + 6{x^3} – 3{x^2} – 9x – 8{x^2} + 4x + 12 \cr & = 2{x^4} + 5{x^3} – 14{x^2} – 5x + 12 \cr & \Rightarrow \left( {2{x^2} – 5x + 3} \right)\left( {{x^2} + 5x + 4} \right) = \left( {{x^2} + 3x – 4} \right)\left( {2{x^2} – x – 3} \right) \cr} \)
Đẳng thức đúng
Câu 1.1: Tìm đa thức P để \({{x – 3} \over {{x^2} + x + 1}} = {P \over {{x^3} – 1}}\) .
Phương án nào sau đây là đúng ?
A. \(P = {x^2} + 3\)
B. \(P = {x^2} – 4x + 3\)
C. \(P = x + 3\)
D. \(P = {x^2} – x – 3\)
Chọn B. \(P = {x^2} – 4x + 3\)
Câu 1.2: Trong mỗi trường hợp sau hãy tìm hai đa thức P và Q thỏa mãn đẳng thức :
a. \({{\left( {x + 2} \right)P} \over {x – 2}} = {{\left( {x – 1} \right)Q} \over {{x^2} – 4}}\)
b. \({{\left( {x + 2} \right)P} \over {{x^2} – 1}} = {{\left( {x – 2} \right)Q} \over {{x^2} – 2x + 1}}\)
a. \({{\left( {x + 2} \right)P} \over {x – 2}} = {{\left( {x – 1} \right)Q} \over {{x^2} – 4}}\)
P \( = x – 1\) ;Q \( = {\left( {x + 2} \right)^2} = {x^2} + 4x + 4\)
b. \({{\left( {x + 2} \right)P} \over {{x^2} – 1}} = {{\left( {x – 2} \right)Q} \over {{x^2} – 2x + 1}}\)
P \( = \left( {x – 2} \right)\left( {x + 1} \right) = {x^2} – x – 2\)
Q \( = \left( {x + 2} \right)\left( {x – 1} \right) = {x^2} + x – 2\)
Câu 1.3: Cho hai phân thức \({P \over Q}\) và\({R \over S}\).
Chứng minh rằng :
a. Nếu \({P \over Q} = {R \over S}\) thì \({{P + Q} \over Q} = {{R + S} \over S}\)
b. Nếu và P ≠ Q thì R ≠ S và
a. \({P \over Q} = {R \over S}\) \( \Rightarrow PS = QR\) (1). Vì \({P \over Q},{R \over S}\) là phân thức
⇒ Q, S khác không. Cộng vào hai vế của đẳng thức (1) với Q S
P S + Q S = Q R + Q S ⇒ (P + Q). S = Q (R + S)
⇒\({{P + Q} \over Q} = {{R + S} \over S}\)
b. \({P \over Q} = {R \over S}\)⇒ P S = Q R (1) và P ≠ Q, R ≠ S
Trừ từng vế đẳng thức (1) với PR : P S – P R = Q R – P R
⇒ P (S – R) = R (Q – P) ⇒ \({P \over {Q – P}} = {R \over {S – R}}\)
