Câu 61: Một phân thức có giá trị bằng 0 khi giá trị của tử thức bằng 0 còn giá trị của mẫu thức khác 0. Ví dụ giá trị của phân thức \({{{x^2} – 25} \over {x + 1}} = 0\) khi \({x^2} – 25 = 0\) và \(x + 1 \ne 0\) hay \(\left( {x – 5} \right)\left( {x + 5} \right) = 0\) và\(x \ne – 1\). Vậy giá trị của phân thức này bằng 0 khi \(x = \pm 5\)
Tìm các giá trị của x để giá trị của mỗi phân thức sau bằng 0 :
a. \({{98{x^2} – 2} \over {x – 2}}\)
b. \({{3x – 2} \over {{x^2} + 2x + 1}}\)
a. \({{98{x^2} – 2} \over {x – 2}}\)= 0 khi \(98{x^2} – 2 = 0\) và x – 2 ≠ 0
Ta có: x – 2 ≠ 0 ⇒ x ≠ 2
\(\eqalign{ & 98{x^2} – 2 = 0 \Rightarrow 2\left( {49{x^2} – 1} \right) = 0 \Rightarrow \left( {7x – 1} \right)\left( {7x + 1} \right) = 0 \cr & \Rightarrow \left[ {\matrix{ {7x + 1 = 0} \cr {7x – 1 = 0} \cr} \Rightarrow \left[ {\matrix{ {x = – {1 \over 7}} \cr {x = {1 \over 7}} \cr} } \right.} \right. \cr} \)
\(x = {1 \over 7}\)và \(x = – {1 \over 7}\) thỏa mãn điều kiện x ≠ 2
Vậy \(x = {1 \over 7}\) hoặc \(x = – {1 \over 7}\) thì phân thức \({{98{x^2} – 2} \over {x – 2}}\) có giá trị bằng 0.
b. \({{3x – 2} \over {{x^2} + 2x + 1}}\)\( = {{3x – 2} \over {{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = 0\) khi 3x – 2 = 0 và \({\left( {x + 1} \right)^2} \ne 0\)
Ta có : \({\left( {x + 1} \right)^2} \ne 0 \Rightarrow x + 1 \ne 0 \Rightarrow x \ne – 1\)
\(3x – 2 = 0 \Rightarrow x = {2 \over 3}\)
\(x = {2 \over 3}\) thỏa mãn điều kiện x ≠ – 1
Vậy \(x = {2 \over 3}\) thì phân thức \({{3x – 2} \over {{x^2} + 2x + 1}}\) có giá trị bằng 0.
Câu 62: Đối với mỗi biểu thức sau, hãy tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức được xác định :
a. \({{2x – 3} \over {{{x – 1} \over {x + 2}}}}\)
b. \({{{{2{x^2} + 1} \over x}} \over {x – 1}}\)
c. \({{{x^2} – 25} \over {{{{x^2} – 10x + 25} \over x}}}\)
d. \({{{x^2} – 25} \over {{{{x^2} + 10x + 25} \over {x – 5}}}}\)
a. \({{2x – 3} \over {{{x – 1} \over {x + 2}}}}\) biểu thức xác định khi x – 1 ≠ 0 và x + 2 ≠ 0
⇒ x ≠ 1 và x ≠ -2. Vậy điều kiện để biểu thức xác định x ≠ 1 và x ≠ – 2
b. \({{{{2{x^2} + 1} \over x}} \over {x – 1}}\) biểu thức xác định khi và x – 1 ≠ 0
⇒ x ≠ 0 và x ≠ 1.
Vậy điều kiện để biểu thức xác định x ≠ 0 và x ≠ 1
c. \({{{x^2} – 25} \over {{{{x^2} – 10x + 25} \over x}}}\) biểu thức xác định khi \({x^2} – 10x + 25 \ne 0\) và x ≠ 0
Advertisements (Quảng cáo)
\({x^2} – 10x + 25 \ne 0 \Rightarrow {\left( {x – 5} \right)^2} \ne 0 \Rightarrow x \ne 5\)
Vậy điều kiện để biểu thức xác định là x ≠ 0 và x ≠ 5
d. \({{{x^2} – 25} \over {{{{x^2} + 10x + 25} \over {x – 5}}}}\) biểu thức xác định khi \({x^2} + 10x + 25 \ne 0\) và x – 5 ≠ 0.
\(\eqalign{ & {x^2} + 10x + 25 \ne 0 \Rightarrow {\left( {x + 5} \right)^2} \ne 0 \Rightarrow x \ne – 5 \cr & x – 5 \ne 0 \Rightarrow x \ne 5 \cr} \)
Vậy điều kiện để biểu thức xác định x ≠ 5 và x ≠ -5
Câu 63: Tìm giá trị của x để giá trị của các biểu thức trong bài tập 62 bằng 0
a. \({{{{2x – 3} \over {x – 1}}} \over {x + 2}}\) điều kiện x ≠ 1 và x ≠ -2
\( \Rightarrow {{\left( {2x – 3} \right)\left( {x + 2} \right)} \over {x – 1}} = 0\) biểu thức bằng 0 khi \(\left( {2x – 3} \right)\left( {x + 2} \right) = 0\) và \(x – 1 \ne 0\)
\(\left( {2x – 3} \right)\left( {x + 2} \right) = 0 \Rightarrow 2x – 3 = 0\)hoặc \(x + 2 = 0\)
\(2x – 3 = 0 \Rightarrow x = 1,5;x + 2 = 0 \Rightarrow x = – 2\)
\(x = – 2\) không thỏa mãn điều kiện, \(x = 1,5\) thỏa mãn điều kiện.
Vậy \(x = 1,5\) thì biểu thức \({{{{2x – 3} \over {x – 1}}} \over {x + 2}}\) có giá trị bằng 0.
b. \({{{{2{x^2} + 1} \over x}} \over {x – 1}} = 0\) điều kiện x ≠ 0 và x ≠ 1
\( \Rightarrow {{2{x^2} + 1} \over {x\left( {x – 1} \right)}} = 0\) biểu thức có giá trị bằng 0 khi \(2{x^2} + 1 = 0\) và \(x\left( {x – 1} \right) \ne 0\)
Ta có: \(2{x^2} \ge 0 \Rightarrow 2{x^2} + 1 \ne 0\) với mọi x
Vậy không có giá trị nào của x để biểu thức \({{{{2{x^2} + 1} \over x}} \over {x – 1}}\) có giá trị bằng 0
c. \({{{x^2} – 25} \over {{{{x^2} – 10x + 25} \over x}}}\) điều kiện x ≠ 0 và x ≠ 5
Advertisements (Quảng cáo)
\( \Rightarrow {{\left( {x + 5} \right)\left( {x – 5} \right)x} \over {{{\left( {x – 5} \right)}^2}}} = 0 \Rightarrow {{x\left( {x + 5} \right)} \over {x – 5}} = 0\)
Biểu thức có giá trị bằng 0 khi x (x + 5) = 0 và x – 5 ≠ 0
\(x\left( {x + 5} \right) = 0 \Rightarrow x = 0\) hoặc \(x + 5 = 0 \Rightarrow x = – 5\)
x = 0 không thỏa mãn điều kiện,
x = – 5 thỏa mãn điều kiện
Vậy x = -5 thì biểu thức \({{{x^2} – 25} \over {{{{x^2} – 10x + 25} \over x}}}\) có giá trị bằng 0
d. \({{{x^2} – 25} \over {{{{x^2} + 10x + 25} \over {x – 5}}}}\) điều kiện x ≠ 5 và x ≠ -5
\( \Rightarrow {{\left( {x + 5} \right)\left( {x – 5} \right)\left( {x – 5} \right)} \over {{x^2} + 10x + 25}} = 0 \Rightarrow {{\left( {x + 5} \right){{\left( {x – 5} \right)}^2}} \over {{{\left( {x + 5} \right)}^2}}} = 0\)
\( \Rightarrow {{{{\left( {x – 5} \right)}^2}} \over {x + 5}} = 0\). Biểu thức bằng 0 khi \({\left( {x – 5} \right)^2} = 0\) và \(x + 5 \ne 0\)
\({\left( {x – 5} \right)^2} = 0 \Rightarrow x – 5 = 0 \Rightarrow x = 5\)
\(x = 5\) không thỏa mãn điều kiện.
Vậy không có giá trị nào của x để biểu thức \({{{x^2} – 25} \over {{{{x^2} + 10x + 25} \over {x – 5}}}}\) có giá trị bằng 0.
Câu 64: Tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức được xác định và chứng minh rằng với điều kiện đó biểu thức không phụ thuộc vào biến :
a. \({{x – {1 \over x}} \over {{{{x^2} + 2x + 1} \over x} – {{2x + 2} \over x}}}\)
b. \({{{x \over {x + 1}} + {1 \over {x – 1}}} \over {{{2x + 2} \over {x – 1}} – {{4x} \over {{x^2} – 1}}}}\)
c. \({1 \over {x – 1}} – {{{x^3} – x} \over {{x^2} + 1}}.\left( {{x \over {{x^2} – 2x + 1}} – {1 \over {{x^2} – 1}}} \right)\)
d. \(\left( {{x \over {{x^2} – 36}} – {{x – 6} \over {{x^2} + 6x}}} \right):{{2x – 6} \over {{x^2} + 6x}} + {x \over {6 – x}}\)
a. \({{x – {1 \over x}} \over {{{{x^2} + 2x + 1} \over x} – {{2x + 2} \over x}}}\)
Ta có: \(x – {1 \over x}\) xác định khi x ≠ 0
\({{{x^2} + 2x + 1} \over x} – {{2x + 2} \over x}\) xác định khi x ≠ 0
\(\eqalign{ & {{{x^2} + 2x + 1} \over x} – {{2x + 2} \over x} \ne 0 \Rightarrow {{{x^2} – 1} \over x} \ne 0 \Rightarrow {x^2} – 1 \ne 0 \cr & \Rightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x – 1} \right) \ne 0 \Rightarrow x \ne – 1;x \ne 1 \cr} \)
Vậy với x ≠ 0, x ≠ 1 và x ≠ -1 thì biểu thức xác định.
\({{x – {1 \over x}} \over {{{{x^2} + 2x + 1} \over x} – {{2x + 2} \over x}}}\)\( = {{{{{x^2} – 1} \over x}} \over {{{{x^2} – 1} \over x}}} = {{{x^2} – 1} \over x}.{x \over {{x^2} – 1}} = 1\)
b. \({{{x \over {x + 1}} + {1 \over {x – 1}}} \over {{{2x + 2} \over {x – 1}} – {{4x} \over {{x^2} – 1}}}}\)
Ta có: \({x \over {x + 1}} + {1 \over {x – 1}}\) xác định khi x + 1 ≠ 0 và x – 1 ≠ 0 ⇒ \(x \ne \pm 1\)
\({{2x + 2} \over {x – 1}} – {{4x} \over {{x^2} – 1}}\) xác định khi x – 1 ≠ 0 và \({x^2} – 1 \ne 0 \Rightarrow x \ne \pm 1\)
\({{2x + 2} \over {x – 1}} – {{4x} \over {{x^2} – 1}} \ne 0 \Rightarrow {{\left( {2x + 2} \right)\left( {x + 1} \right) – 4x} \over {\left( {x – 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} \ne 0\)
\( \Rightarrow {{2{x^2} + 2x + 2x + 2 – 4x} \over {\left( {x – 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} \ne 0 \Rightarrow {{2{x^2} + 2} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {x – 1} \right)}} \ne 0\) mọi x
Vậy điều kiện để biểu thức xác định x ≠ 1 và x ≠ -1
\({{{x \over {x + 1}} + {1 \over {x – 1}}} \over {{{2x + 2} \over {x – 1}} – {{4x} \over {{x^2} – 1}}}}\)\( = {{{{x\left( {x – 1} \right) + \left( {x + 1} \right)} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {x – 1} \right)}}} \over {{{2{x^2} + 2} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {x – 1} \right)}}}} = {{{x^2} + 1} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {x – 1} \right)}}.{{\left( {x + 1} \right)\left( {x – 1} \right)} \over {2\left( {{x^2} + 1} \right)}} = {1 \over 2}\)
c. \({1 \over {x – 1}} – {{{x^3} – x} \over {{x^2} + 1}}.\left( {{x \over {{x^2} – 2x + 1}} – {1 \over {{x^2} – 1}}} \right)\)
Biểu thức xác định khi x – 1 ≠ 0, \({x^2} – 2x + 1 \ne 0\)và \({x^2} – 1 \ne 0\)
\(\eqalign{ & x – 1 \ne 0 \Rightarrow x \ne 1 \cr & {x^2} – 2x + 1 \ne 0 \Rightarrow {\left( {x – 1} \right)^2} \ne 0 \Rightarrow x \ne 1 \cr & {x^2} – 1 \ne 0 \Rightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x – 1} \right) \ne 0 \Rightarrow x \ne – 1;x \ne 1 \cr} \)
Vậy biểu thức xác định với x ≠ -1 và x ≠ 1
Ta có: \({1 \over {x – 1}} – {{{x^3} – x} \over {{x^2} + 1}}.\left( {{x \over {{x^2} – 2x + 1}} – {1 \over {{x^2} – 1}}} \right)\)
\(\eqalign{ & = {1 \over {x – 1}} – {{x\left( {{x^2} – 1} \right)} \over {{x^2} + 1}}.\left[ {{x \over {{{\left( {x – 1} \right)}^2}}} – {1 \over {\left( {x + 1} \right)\left( {x – 1} \right)}}} \right] \cr & = {1 \over {x – 1}} – {{x\left( {x + 1} \right)\left( {x – 1} \right)} \over {{x^2} + 1}}.{{x\left( {x + 1} \right) – \left( {x – 1} \right)} \over {\left( {x + 1} \right){{\left( {x – 1} \right)}^2}}} \cr & = {1 \over {x – 1}} – {{x\left( {{x^2} + x – x + 1} \right)} \over {\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {x – 1} \right)}} = {1 \over {x – 1}} – {{x\left( {{x^2} + 1} \right)} \over {\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {x – 1} \right)}} = {1 \over {x – 1}} – {x \over {x – 1}} \cr & = {{ – \left( {x – 1} \right)} \over {x – 1}} = – 1 \cr} \)
d. \(\left( {{x \over {{x^2} – 36}} – {{x – 6} \over {{x^2} + 6x}}} \right):{{2x – 6} \over {{x^2} + 6x}} + {x \over {6 – x}}\)
Biểu thức xác định khi
\(\eqalign{ & {x^2} – 36 \ne 0,{x^2} + 6x \ne 0,6 – x \ne 0,2x – 6 \ne 0 \cr & {x^2} – 36 \ne 0 \Rightarrow \left( {x – 6} \right)\left( {x + 6} \right) \ne 0 \Rightarrow x \ne 6;x \ne – 6 \cr & {x^2} + 6x \ne 0 \Rightarrow x\left( {x + 6} \right) \ne 0 \Rightarrow x \ne 0;x \ne – 6 \cr & 6 – x \ne 0 \Rightarrow x \ne 6 \cr & 2x – 6 \ne 0 \Rightarrow x \ne 3 \cr} \)
Vậy x ≠ 0, x ≠ 3, x ≠ 6 và x ≠ -6 thì biểu thức xác định.
Ta có : \(\left( {{x \over {{x^2} – 36}} – {{x – 6} \over {{x^2} + 6x}}} \right):{{2x – 6} \over {{x^2} + 6x}} + {x \over {6 – x}}\)
\(\eqalign{ & = \left[ {{x \over {\left( {x + 6} \right)\left( {x – 6} \right)}} – {{x – 6} \over {x\left( {x + 6} \right)}}} \right]:{{2x – 6} \over {x\left( {x + 6} \right)}} + {x \over {6 – x}} \cr & = {{{x^2} – {{\left( {x – 6} \right)}^2}} \over {x\left( {x + 6} \right)\left( {x – 6} \right)}}.{{x\left( {x + 6} \right)} \over {2\left( {x – 3} \right)}} + {x \over {6 – x}} = {{{x^2} – {x^2} + 12x – 36} \over {x\left( {x + 6} \right)\left( {x – 6} \right)}}.{{x\left( {x + 6} \right)} \over {2\left( {x – 3} \right)}} + {x \over {6 – x}} \cr & = {{12\left( {x – 3} \right)} \over {x – 6}}.{1 \over {2\left( {x – 3} \right)}} + {x \over {6 – x}} = {6 \over {x – 6}} – {x \over {x – 6}} = {{ – \left( {x – 6} \right)} \over {x – 6}} = – 1 \cr} \)
