Câu 8: Cho hai phân thức \({A \over B}\) và\({C \over D}\).
Chứng minh rằng có vô số cặp phân thức cùng mẫu, có dạng \({{A’} \over E}\) và \({{C’} \over E}\) thỏa mãn điều kiện \({{A’} \over E} = {A \over B}\) và \({{C’} \over E} = {C \over D}\)
Với hai phân thức \({A \over B}\) và \({C \over D}\) ta có được hai phân thức cùng mẫu \({{A.D} \over {B.D}}\) và\({{C.B} \over {B.D}}\).
Ta nhân tử và mẫu của hai phân thức đó với cùng một đa thức M ≠ 0 bất kỳ, ta có hai phân thức mới cùng mẫu \({{A.D.M} \over {B.D.M}}\) và\({{C.B.M} \over {B.D.M}}\). Ta đặt B.D.M = E, A.D.M = A’, C.B.M = C’\( \Rightarrow {{A’} \over E} = {A \over {B’}}{{C’} \over E} = {C \over D}\). Vì có vô số đa thức M ≠ 0 nên ta có vô số phân thức cùng mẫu bằng hai phân thức đã cho.
Câu 2.1: Hãy điền vào chỗ trống một đa thức thích hợp để được đẳng thức:
a. \({{x + 5} \over {3x – 2}} = {{…} \over {x\left( {3x – 2} \right)}}\)
b. \({{2x – 1} \over 4} = {{\left( {2x – 1} \right)…} \over {8x + 4}}\)
c. \({{2x.\left( {…} \right)} \over {{x^2} – 4x + 4}} = {{2x} \over {x – 2}}\)
d. \({{5{x^2} + 10x} \over {\left( {x – 2} \right)…}} = {{5x} \over {x – 2}}\)
Advertisements (Quảng cáo)
a. \({{x + 5} \over {3x – 2}} = {{x\left( {x + 5} \right)} \over {x\left( {3x – 2} \right)}}\)
b. \({{2x – 1} \over 4} = {{\left( {2x – 1} \right)\left( {2x + 1} \right)} \over {8x + 4}}\)
c. \({{2x\left( {x – 2} \right)} \over {{x^2} – 4x + 4}} = {{2x} \over {x – 2}}\)
d. \({{5{x^2} + 10x} \over {\left( {x – 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} = {{5x} \over {x – 2}}\)
Câu 2.2: Biến đổi mỗi phân thức sau thành phân thức có mẫu thức là \({x^2} – 9\)
Advertisements (Quảng cáo)
\({{3x} \over {x + 3}}\); \({{x – 1} \over {x – 3}}\) ; \({x^2} + 9\)
Ta có \({x^2} – 9 = \left( {x + 3} \right)\left( {x – 3} \right)\)
\({{3x} \over {x + 3}} = {{3x\left( {x – 3} \right)} \over {\left( {x + 3} \right)\left( {x – 3} \right)}} = {{3{x^2} – 9x} \over {{x^2} – 9}}\)
\(\eqalign{ & {{x – 1} \over {x – 3}} = {{\left( {x – 1} \right)\left( {x + 3} \right)} \over {\left( {x – 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} = {{{x^2} + 2x – 3} \over {{x^2} – 9}} \cr & {x^2} + 9 = {{\left( {{x^2} + 9} \right)\left( {{x^2} – 9} \right)} \over {{x^2} – 9}} = {{{x^4} – 81} \over {{x^2} – 9}} \cr} \)
Câu 2.3: Dùng tính chất cơ bản của phân thức chứng tỏ rằng các cặp phân thức sau bằng nhau:
a. \({{{x^2} + 3x + 2} \over {3x + 6}}\)và \({{2{x^2} + x – 1} \over {6x – 3}}\)
b. \({{15x – 10} \over {3{x^2} + 3x – \left( {2x + 2} \right)}}\)và \({{5{x^2} – 5x + 5} \over {{x^3} + 1}}\)
a. \({{{x^2} + 3x + 2} \over {3x + 6}}\) \( = {{{x^2} + x + 2x + 2} \over {3\left( {x + 2} \right)}} = {{x\left( {x + 1} \right) + 2\left( {x + 1} \right)} \over {3\left( {x + 2} \right)}} = {{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)} \over {3\left( {x + 2} \right)}} = {{x + 1} \over 3}\)
\({{2{x^2} + x – 1} \over {6x – 3}}\) \( = {{2{x^2} + 2x – x – 1} \over {3\left( {2x – 1} \right)}} = {{2x\left( {x + 1} \right) – \left( {x + 1} \right)} \over {3\left( {2x – 1} \right)}} = {{\left( {x + 1} \right)\left( {2x – 1} \right)} \over {3\left( {2x – 1} \right)}} = {{x – 1} \over 3}\)
Vậy : \({{{x^2} + 3x + 2} \over {3x + 6}}\)= \({{2{x^2} + x – 1} \over {6x – 3}}\)
b. \({{15x – 10} \over {3{x^2} + 3x – \left( {2x + 2} \right)}}\) \( = {{5\left( {3x – 2} \right)} \over {3x\left( {x + 1} \right) – 2\left( {x + 1} \right)}} = {{5\left( {3x – 2} \right)} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {3x – 2} \right)}} = {5 \over {x + 1}}\)
\({{5{x^2} – 5x + 5} \over {{x^3} + 1}}\) \( = {{5\left( {{x^2} – x + 1} \right)} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} – x + 1} \right)}} = {5 \over {x + 1}}\)
Vậy : \({{15x – 10} \over {3{x^2} + 3x – \left( {2x + 2} \right)}}\)= \({{5{x^2} – 5x + 5} \over {{x^3} + 1}}\)
