Câu 12.4: Tích của một số vô tỉ và một số hữu tỉ là một số vô tỉ hay hữu tỉ?
Gọi a là số vô tỉ, b là số hữu tỉ khác 0.
Tích ab là số vô tỉ vì nếu ab = b’ là số hữu tỉ thì a = \({{b’} \over b}\) suy ra a là số hữu tỉ, vô lí.
Câu 12.5: Cho x > y > 0. Chứng minh rằng x3 > y3.
Advertisements (Quảng cáo)
Từ x > y > 0 ta có:
\(x > y \Rightarrow xy > {y^2}\) (1)
\(x > y \Rightarrow {x^2} > xy\0 (2)
Từ (1) và (2) suy ra x2 > y2.
Advertisements (Quảng cáo)
\({x^2} > {y^2} \Rightarrow {x^3} > x{y^2}\) (3)
\(x > y \Rightarrow x{y^2} > {y^3}\) (4)
Từ (3) và (4) suy ra x3 > y3.
Câu 12.6: Chứng minh rằng nếu số tự nhiên a không phải là số chính phương thì √a là số vô tỉ.
Giả sử √a là số hữu tỉ thì √a viết được thành \(\sqrt a = {m \over n}\) với m, n ∈ N, (n ≠ 0) và ƯCLN (m, n) = 1
Do a không phải là số chính phương nên \({m \over n}\) không phải là số tự nhiên, do đó n > 1.
Ta có m2 = an2. Gọi p là một ước nguyên tố của n thì m2 ⋮ p, do đó m ⋮ p. Như vậy p là ước nguyên tố của m và n, trái với giả thiết ƯCLN (m, n) = 1. Vậy √a là số vô tỉ.
