Bài 48: Giải các hệ phương trình sau:
a)
\(\left\{ \matrix{
{x^2} + {y^2} = 208 \hfill \cr
xy = 96 \hfill \cr} \right.\)
b)
\(\left\{ \matrix{
{x^2} – {y^2} = 55 \hfill \cr
xy = 24 \hfill \cr} \right.\)
a) Đặt \(S = x + y; P = xy\)
Ta có hệ:
\(\left\{ \matrix{
{S^2} – 2P = 208 \hfill \cr
P = 96 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{S^2} = 400 \hfill \cr
P = 96 \hfill \cr} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
\left\{ \matrix{
S = 20 \hfill \cr
P = 96 \hfill \cr} \right. \hfill \cr
\left\{ \matrix{
S = – 20 \hfill \cr
P = 96 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right.\)
+ Với \(S = 20, P = 96\) thì x, y là nghiệm phương trình:
\({X^2} – 20X + 96 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
X = 8 \hfill \cr
X = 12 \hfill \cr} \right.\)
Ta có nghiệm \((8, 12)\) và \((12, 8)\)
+ Với \(S = -20, P = 96\) thì x, y là nghiệm phương trình:
\({X^2} + 20X + 96 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
X = – 8 \hfill \cr
X = – 12 \hfill \cr} \right.\)
Advertisements (Quảng cáo)
Ta có nghiệm \((-8, -12)\) và \((-12, -8)\)
Vậy hệ có 4 nghiệm : \((8, 12); (12, 8); (-8, -12); (-12, -8)\)
b) Thay \(y = {{24} \over x}\) vào phương trình thứ nhất của hệ, ta có :
\({x^2} – {{576} \over {{x^2}}} = 55 \Leftrightarrow {x^4} – 55{x^2} – 576 = 0\)
Đặt \(t = x^2\;(t ≥ 0)\), ta có phương trình:
\({t^2} – 55t – 576 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = 64 \hfill \cr
t = – 9\,\,\,(\text{loại}) \hfill \cr} \right.\)
\(t = 64 ⇔x^2= 64 ⇔ x = ± 8\)
Nếu \(x = 8 ⇒ y = 3\)
Nếu \(x = -8 ⇒ y = -3\)
Advertisements (Quảng cáo)
Vậy hệ có hai nghiệm \((8;3)\) và \((-8;-3)\)
Bài 49: Tìm hàm số bậc hai y = f(x) thỏa mãn các điều kiện sau :
a) Parabol y = f(x) cắt trục tung tại điểm (0; -4)
b) f(2) = 6
c) Phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm và hiệu giữa nghiệm lớn và nghiệm bé bằng 5
Giả sử:
f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0)
f(0) = -4 ⇒ c = -4
f(2) = 6 ⇒ 4a + 2b + c = 6 ⇒ 4a + 2b = 10 ⇒ 2a + b = 5 (1)
Ta có: (x1 – x2 )2 = 25 ⇔ S2 – 4P = 25
Với
\(\left\{ \matrix{
S = {x_1} + {x_2} = – {b \over a} \hfill \cr
P = {x_1}{x_2} = {c \over a} = {{ – 4} \over a} \hfill \cr} \right.\)
Do đó: \({{{b^2}} \over {{a^2}}} + {{16} \over a} = 25\)
\(\Leftrightarrow {b^2} + 16a = 25{a^2}\,\,\,\,\,(2)\)
Từ (1) và (2) ta có hệ:
\(\left\{ \matrix{
2a + b = 5 \hfill \cr
{b^2} + 16a = 25{a^2} \hfill \cr} \right.\)
Hay \(b = 5 – 2a\) vào (2), ta được:
\({(5 – 2a)^2} + 16a = 25{a^2} \Leftrightarrow 21{a^2} + 4a – 25 = 0 \)
\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
a = 1 \hfill \cr
a = – {{25} \over {21}} \hfill \cr} \right.\)
Nếu \(a = 1 ⇒ b = 3\)
Nếu \(a = – {{25} \over {21}} \Rightarrow b = {{155} \over {21}}\)
Vậy hàm số \(y = x^2+ 3x – 4\) và \(y = – {{25} \over {21}}{x^2} + {{155} \over {21}}x – 4\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
