Bài 2.21, 2.21, 2.23, 2.24 trang 92 SBT Toán Hình học 10: Tính tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành ?

Bài 2.21: Cho tam giác đều ABC cạnh a. Tính \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} \)

(H.2.25)

\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = a.a.\cos {60^0} = {1 \over 2}{a^2}\)

\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = a.a.\cos {120^0} =  – {1 \over 2}{a^2}\)

Bài 2.22: Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau và cắt nhau tại M. Gọi P là trung điểm của cạnh AD. Chứng minh rằng MP vuông góc với BC khi và chỉ khi \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MD} \)

(h.2.26)

\(2\overrightarrow {MP} .\overrightarrow {BC}  = (\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MD} )(\overrightarrow {MC}  – \overrightarrow {MB} )\)

\( = \overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MC}  – \underbrace {\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} }_0 + \underbrace {\overrightarrow {MD} .\overrightarrow {MC} }_0 – \overrightarrow {MD} .\overrightarrow {MB} \)

\(= \overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MC}  – \overrightarrow {MD} .\overrightarrow {MB} \)

Do đó: \(\overrightarrow {MP}  \bot \overrightarrow {BC}  \Leftrightarrow \overrightarrow {MP} .\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow 0 \)

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {MD} .\overrightarrow {MB}\)

Bài 2.23: Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A = (2;4), B = ( – 3;1) và C = (3;1). Tính:

a) Tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành;

b) Tọa độ chân của đường cao vẽ từ đỉnh A.

(h.2.27)

a) Vì ABCD là hình bình hành nên ta có:

\(\overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {BC} \) trong đó \(\overrightarrow {BA}  = (5;3)\)

\(\overrightarrow {BC}  = (6; – 2)\)

\( =  > \,\overrightarrow {BD}  = (11;1)\)

Giả sử D có tọa độ \(({x_D},{y_D})\)

Vì \(\overrightarrow {BD}  = (11;1)\) và B(-3; 1) nên ta có:

\(\left\{ \matrix{
{x_D} + 3 = 11 \hfill \cr
{y_D} – 1 = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x_D} = 8 \hfill \cr
{y_D} = 2 \hfill \cr} \right.\)

Chú ý: Ta có thể dựa vào biểu thức vec tơ \(\overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {BC} \) hoặc \(\overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {BA} \) để tính tọa độ điểm D.

b) Gọi A(x;y) là chân đường cao vẽ từ A ta có:

\(\left\{ \matrix{
\overrightarrow {AA’} \bot \overrightarrow {BC} \,hay\overrightarrow {AA’} .\overrightarrow {BC} = 0 \hfill \cr
\overrightarrow {BA’} cung\,phuong\,voi\,\overrightarrow {BC} \hfill \cr} \right.\)

Với

\(\eqalign{
& \overrightarrow {AA’} = (x – 2;y – 4), \cr
& \overrightarrow {BC} = (6; – 2), \cr
& \overrightarrow {BA’} = (x + 3;y – 1) \cr} \)

Do đó:

\(\left\{ \matrix{
(x – 2).6 + (y – 4).( – 2) = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {AA’} \bot \overrightarrow {BC} \hfill \cr
– 2(x + 3) = 6(y – 1) = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {BA’\,} cung\,phuong\,voi\,\overrightarrow {BC} \hfill \cr} \right.\)

\(\left\{ \matrix{
(x – 2).6 + (y – 4).( – 2) = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {AA’} \bot \overrightarrow {BC} \hfill \cr
– 2(x + 3) = 6(y – 1) = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {BA’} cung\,phuong\,voi\,\overrightarrow {BC} \hfill \cr} \right.\)

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
6x – 12 – 2y + 8 = 0 \hfill \cr
– 2x – 6 – 6y + 6 = 0 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
6x – 2y – 4 = 0 \hfill \cr
– 2x – 6y = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x_{A’}} = {3 \over 5} \hfill \cr
{y_{A’}} = – {1 \over 5} \hfill \cr} \right. \cr} $\)

Bài 2.24: Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có A=( – 1;1), B=(1;3) và C=(1;-1)

Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A.

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = (2;2),\overrightarrow {AC}  = (2; – 2)\). Do đó:

\(\eqalign{
& \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 2.2 + 2.( – 2) = 0 \cr
& = > \overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {AC} \cr} \)

Mặt khác \(\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = \sqrt {4 + 4}  = 2\sqrt 2 \)

Vậy tam giác ABC vuông cân tại A.