Bài 9, 10, 11, 12 trang 215 Sách BT Toán Đại số 10: Giải và biện luận các hệ phương trình ?

Bài 9: Tìm các giá trị nguyên của k sao cho phương trình \((k – 12){x^2} + 2(k – 12)x + 2 = 0\) vô nghiệm

Phương trình \((k – 12)x_{}^2 + 2(k – 12)x + 2 = 0\) vô nghiệm

\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
a = k – 12 = 0 \Leftrightarrow k = 12(1) \hfill \cr
\Delta ‘ = (k – 12)_{}^2 – (k – 12).2 < 0(2) \hfill \cr} \right.\)

Xét (2):

Đặt \(k – 12 = t \Rightarrow t_{}^2 – 2t < 0 \Leftrightarrow 0 < t < 2\)

Vậy: \(0 < k – 12 < 2 \Leftrightarrow 12 < k < 14\), mà k nguyên \( \Rightarrow k = 13\,(3)\)

Từ (1) và (3) \( \Rightarrow k = 12,k = 13\)

Bài 10: Cho phương trình bậc hai

\(a{x^2} – 2(a + 1)x + {(a + 1)^2}a = 0\) (E)

Kí hiệu S là tổng, P là tích các nghiệm (nếu có) của phương trình trên.

a) Với giá trị nào của a, phương trình (E) có nghiệm?

b) Biện luận dấu của S và P. Từ đó suy ra dấu các nghiệm của (E).

c)Tìm hệ thức giữa S và P độc lập đối với a.

d) Với những giá trị nào của a, các nghiệm \({x_1},{x_2}\) của (E) thỏa mãn hệ thức \({x_1} = 3{x_2}\)? Tìm các nghiệm \({x_1},{x_2}\) trong mỗi trường hợp đó.

a) Phải có:

\(\Delta  = {(a + 1)^2} – {(a + 1)^2}{a^2} = {(a + 1)^2}(1 – {a^2}) \ge 0\)

\( \Leftrightarrow  – 1 \le a \le 1,a \ne 0\)

b) Ta có:

\(P = {(a + 1)^2}\)

\(P = 0 \Leftrightarrow a =  – 1\), khi đó \({x_1} = {x_2} = 0\)

\(P > 0,\forall a \ne  – 1\) khi đó \({x_1},{x_2}\) cùng dấu.

Mặt khác \(S = {{2(a + 1)} \over a}\)

Suy ra:

Với \(0 < a \le 1\) thì hai nghiệm của phương trình (E) đều dương;

Với \( – 1 \le a < 0\) thì hai nghiệm của phương trình (E) đều âm;

c) Từ \(S = {{2(a + 1)} \over a}\) suy ra \(a = {2 \over {S – 2}}\)

Do đó: \(P = {\left( {{2 \over {S – 2}} + 1} \right)^2} = {{{S^2}} \over {{{(S – 2)}^2}}} \Leftrightarrow {(S – 2)^2}P – {S^2} = 0\)

d) \(\left\{ \matrix{
{x_1} + {x_2} = {{2(a + 1)} \over a} \hfill \cr
{x_1} = 3{x_2} \hfill \cr} \right. = > 4{x_2} = {{2(a + 1)} \over a}\)

\(\left\{ \matrix{
{x_1}{x_2} = {(a + 1)^2} \hfill \cr
{x_1} = 3{x_2} \hfill \cr} \right. = > 3x_2^2 = {(a + 1)^2}.\)

Suy ra:

\({(a + 1)^2}(4{a^2} – 3) = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
a = – 1 \hfill \cr
a = {{\sqrt 3 } \over 2} \hfill \cr
a = – {{\sqrt 3 } \over 2} \hfill \cr} \right.\)

Với a = – 1 ta có: \({x_1} = {x_2} = 0\)

Với \(a = {{\sqrt 3 } \over 2}\) ta có: \({x_2} = {{3 + 2\sqrt 3 } \over 6};{x_1} = {{3 + 2\sqrt 3 } \over 2}\)

Với \(a =  – {{\sqrt 3 } \over 2}\) ta có: \({x_2} = {{3 – 2\sqrt 3 } \over 6};{x_1} = {{3 – 2\sqrt 3 } \over 2}\)

Bài 11: Giải và biện luận các hệ phương trình sau

a) (1) \(\left\{ \matrix{
x + ay = 1 \hfill \cr
ax + y = 2a; \hfill \cr} \right.\)

b) (2) \(\left\{ \matrix{
ax + y = a \hfill \cr
x + ay = {a^2}. \hfill \cr} \right.\)

a) Với \(a \ne  \pm 1\) hệ phương trình (1) có nghiệm \(x = {{1 – 2{a^2}} \over {1 – {a^2}}};y = {a \over {1 – {a^2}}}\)

Với \(a =  \pm 1\) hệ phương trình (1) vô nghiệm.

b) Nếu \(a \ne  \pm 1\) thì thì x = 0, y = a;

Nếu a = -1 thì x = t + 1, y = 1 \((t \in R)\)

Nếu a = 1 thì \(x = t,y = 1 – t(t \in R)\)

Bài 12: Giải phương trình sau

a) (1) \(\left\{ \matrix{
(m – 2)x + 27y = 4,5 \hfill \cr
2x + (m + 1)y = – 1; \hfill \cr} \right.\)

b) (2)  \(\left\{ \matrix{
3x + my = 3 \hfill \cr
mx + 3y = 3. \hfill \cr} \right.\)

a) Hệ phương trình (3) tương đương với

\(\left\{ \matrix{
({m^2} – m – 56)y = – m – 7 \hfill \cr
2x + (m + 1)y = – 1 \hfill \cr} \right.\)

Từ đó nếu \({m^2} – m – 56 \ne 0\) thì hệ có nghiệm

Ta xét:

\({m^2} – m – 56 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
m = – 7 \hfill \cr
m = 8 \hfill \cr} \right.\)

Với m = -7 hệ phương trình (3) trở thành

\(\left\{ \matrix{
– 9x + 27y = 4,5 \hfill \cr
2x – 6y = – 1 \hfill \cr} \right.(3a)\)

Vì \(- {9 \over 2} = {{27} \over { – 6}} = {{4,5} \over { – 1}}\) nên hệ phương trình (3a) có vô số nghiệm.

Với m = 8 ta có hệ

\(\left\{ \matrix{
6x + 27y = 4,5 \hfill \cr
2x + 9y = – 1 \hfill \cr} \right.(3b)\)

Vì \({6 \over 2} = {{27} \over 9} \ne {{4,5} \over { – 1}}\) cho nên hệ phương trình (3b) vô nghiệm.

b) Hệ phương trình (4) tương đương với

\(\left\{ \matrix{
(9 – {m^2})x = 9 – 3m \hfill \cr
mx + 3y = 3 \hfill \cr} \right.\)

Tương tự câu a) ta xét trường hợp \(9 – {m^2} = 0 \Leftrightarrow m =  \pm 3\)

Với m = 3 ta có hệ phương trình

\(\left\{ \matrix{
3x + 3y = 3 \hfill \cr
3x + 3y = 3 \hfill \cr} \right.(4{\rm{a}})\)

Rõ ràng hệ phương trình (4a) có vô số nghiệm.

Với m = -3 hệ phương trình (4) trở thành

\(\left\{ \matrix{
3x – 3y = 3 \hfill \cr
– 3x + 3y = 3 \hfill \cr} \right.(4b)\)

Vì \({3 \over { – 3}} = {{ – 3} \over 3} \ne {3 \over 3}\) cho nên hệ phương trình (4b) vô nghiệm.