Bài 5: Tìm các giá trị của a sao cho tổng các nghiệm của phương trình
\({x^2} – 2a(x – 1) – 1 = 0\)
bằng tổng bình phương các nghiệm đó.
\({x^2} – 2a(x – 1) – 1 = 0 \Leftrightarrow {x^2} – 2ax + 2a – 1 = 0\)
Vì \(\Delta ‘ = {(a – 1)^2} \ge 0\) nên phương trình luôn có nghiệm.
Ta có: \({x_1} + {x_2} = 2a\)
\({x_1}{x_2} = 2a – 1\)
\(x_1^2 + x_2^2 = {({x_1} + {x_2})^2} – 2{x_1}{x_2}\)
Suy ra: \(4{a^2} – 2(2a – 1) = 2a \Leftrightarrow 2{a^2} – 3a + 1 = 0\)
Advertisements (Quảng cáo)
Giải phương trình trên ta được \(a = {1 \over 2};a = 1\)
Đáp số: \(a = {1 \over 2};a = 1\)
Bài 6: Không giải phương trình
\(3{x^2} – 5x – 2 = 0\)
hãy tính tổng lập phương các nghiệm của nó.
Advertisements (Quảng cáo)
\(x_1^3 + x_2^3 = ({x_1} + {x_2})(x_1^2 – 2{x_1}{x_2} + x_2^2)\)
\(\eqalign{
& = ({x_1} + {x_2}){\rm{[}}{({x_1} + {x_2})^2} – 3{x_1}{x_2}{\rm{]}} \cr
& = {5 \over 3}\left[ {{{25} \over 9} + 2} \right] = {{215} \over {27}} \cr} \)
Bài 7: Tính \({1 \over {x_1^3}} + {1 \over {x_2^3}}\), trong đó \({x_1}\) và \({x_2}\) là các nghiệm của phương trình bậc hai \(2{x^2} – 3ax – 2 = 0\)
Ta có: \(\eqalign{
& {1 \over {x_1^3}} + {1 \over {x_2^3}} = {{x_1^3 + x_2^3} \over {x_1^3x_2^3}} \cr
& = {{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} – 3{x_1}{x_2}} \right]} \over {{{\left( {{x_1}{x_2}} \right)}^3}}} \cr} \)
\( = – {{3a} \over 2}\left[ {{{9{a^2}} \over 4} + 3} \right] = – {{27{a^3} + 36a} \over 8}\)
Bài 8: Tìm giá trị của a sao cho phương trình
\({x^2} – 6ax + 2 – 2a + 9{a^2} = 0\)
có hai nghiệm dương phân biệt và đều lớn hơn 3.
Phải có
\(\left\{ \matrix{
\Delta ‘ > 0 \hfill \cr
ac > 0 \hfill \cr
{S \over 2} > 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
2(a – 1) > 0 \hfill \cr
9{a^2} – 2a + 2 > 0 \hfill \cr
{{6a} \over 2} > 3 \hfill \cr} \right.\)
Giải hệ bất phương trình trên ta được a > 1.
