Bài 2.16: Cho tứ diện ABCD. Gọi G1 và G2 lần lượt là trọng tâm của tam giác ACD và BCD. Chứng minh rằng G1G2 song song với các mặt phẳng (ABC) và (ABD).
(h.2.34)
Gọi I là trung điểm của CD.
Vì G1 là trọng tâm của tam giác ACD nên \({G_1} \in AI\)
Vì G2 là trọng tâm của tam giác BCD nên \({G_2} \in BI\)
Ta có :
\(\left\{ \matrix{
{{I{G_1}} \over {IA}} = {1 \over 3} \hfill \cr
{{I{G_2}} \over {IB}} = {1 \over 3} \hfill \cr} \right. \Rightarrow {{I{G_1}} \over {IA}} = {{I{G_2}} \over {IB}} \Rightarrow {G_1}{G_2}\parallel AB\)
\(AB \subset \left( {ABC} \right) \Rightarrow {G_1}{G_2}\parallel \left( {ABC} \right)\)
Và \(AB \subset \left( {ABD} \right) \Rightarrow {G_1}{G_2}\parallel \left( {ABD} \right)\)
Bài 2.17: Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF nằm trong hai mặt phẳng phân biệt .Gọi O là giao điểm của AC và BD, O’ là giao điểm của AE và BF.
a) Chứng minh rằng OO’ song song với hai mặt phẳng (ADF) và (BCE)
b) Gọi M và N lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABD và ABE. Chứng minh rằng .
Advertisements (Quảng cáo)
(h.2.35)
a) Ta có : \(OO’\parallel DF\) ( đường trung bình của tam giác BDF).
Vì \(DF \subset \left( {ADF} \right) \Rightarrow OO’\parallel \left( {ADF} \right)\).
Tương tự \(OO’\parallel EC\) (đường trung bình của tam giác AEC).
Vì \(EC \subset \left( {BCE} \right)\) nên \(OO’\parallel \left( {BCE} \right)\).
b) Gọi I là trung điểm AB;
Vì M là trọng tâm của tam giác ABD nên \(M \in DI\)
Vì N là trọng tâm của tam giác ABE nên \(N \in EI\)
Advertisements (Quảng cáo)
Ta có : \(\left\{ \matrix{
{{IM} \over {I{\rm{D}}}} = {1 \over 3} \hfill \cr
{{IN} \over {IE}} = {1 \over 3} \hfill \cr} \right. \Rightarrow {{IM} \over {I{\rm{D}}}} = {{IN} \over {IE}} \Rightarrow MN\parallel DE\)
Mà \(\left\{ \matrix{
C{\rm{D}}\parallel AB \hfill \cr
C{\rm{D}} = AB \hfill \cr
EF\parallel AB \hfill \cr
EF = AB \hfill \cr} \right.\)
Nên \(C{\rm{D}}\parallel EF\) và \(C{\rm{D = }}EF\), suy ra tứ giác CDFE là hình bình hành.
\(\left\{ \matrix{
MN\parallel DE \hfill \cr
DE \subset \left( {CEF} \right) \hfill \cr} \right. \Rightarrow MN\parallel \left( {CEF} \right)\)
Bài 2.18: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. Gọi G là trọng tâm của tam giác SAB và I là trung điểm của AB. Lấy điểm M trong đoạn AD sao cho AD = 3AM
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC).
b) Đường thẳng qua M song song với AB cắt CI tại N. Chứng minh rằng \(NG\parallel \left( {SC{\rm{D}}} \right)\).
c) Chứng minh rằng \(MG\parallel \left( {SC{\rm{D}}} \right)\).
(h.2.36)
a) Dễ thấy S là một điểm chung của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC).
Ta có: \(\left\{ \matrix{
A{\rm{D}} \subset \left( {SA{\rm{D}}} \right) \hfill \cr
BC \subset \left( {SBC} \right) \hfill \cr
A{\rm{D}}\parallel BC \hfill \cr} \right.\)
\( \Rightarrow \left( {SA{\rm{D}}} \right) \cap \left( {SBC} \right) = Sx\)
Và \(Sx\parallel AD\parallel BC\).
b) Ta có: \(MN\parallel IA\parallel C{\rm{D}}\)
\( \Rightarrow {{AM} \over {A{\rm{D}}}} = {{IN} \over {IC}} = {1 \over 3}\)
Mà \({{IG} \over {IS}} = {1 \over 3}\) ( G là trọng tâm của ∆SAB) nên \({{IG} \over {IS}} = {{IN} \over {IC}} = {1 \over 3} \Rightarrow GN\parallel SC\)
\(SC \subset \left( {SC{\rm{D}}} \right) \Rightarrow GN\parallel \left( {SC{\rm{D}}} \right)\)
c) Giả sử IM cắt CD tại \(K \Rightarrow SK \subset \left( {SC{\rm{D}}} \right)\)
\(MN\parallel C{\rm{D}} \Rightarrow {{MN} \over {CK}} = {{IN} \over {IC}} = {1 \over 3} \Rightarrow {{IM} \over {IK}} = {1 \over 3}\)
Ta có: \(\left\{ \matrix{
{{IG} \over {IS}} = {1 \over 3} \hfill \cr
{{IM} \over {IK}} = {1 \over 3} \hfill \cr} \right. \Rightarrow GM\parallel SK \Rightarrow GM\parallel \left( {SC{\rm{D}}} \right)\)
