Bài 9: Tìm các giới hạn sau:
a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\sqrt {{x^2} + 1} – 1} \over {4 – \sqrt {{x^2} + 16} }}\) ;
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {{x – \sqrt x } \over {\sqrt x – 1}}\) ;
c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{2{x^4} + 5x – 1} \over {1 – {x^2} + {x^4}}}\) ;
d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } {{x + \sqrt {4{x^2} – x + 1} } \over {1 – 2x}}\) ;
e) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x\left( {\sqrt {{x^2} + 1} – x} \right)\) ;
f) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {{1 \over {{x^2} – 4}} – {1 \over {x – 2}}} \right)\)
a) 4 ; b) 1 ; c) 2; d) \({1 \over 2}\) ;
Advertisements (Quảng cáo)
e) \(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x\left( {\sqrt {{x^2} + 1} – x} \right) \cr
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{x\left( {{x^2} + 1 – {x^2}} \right)} \over {\sqrt {{x^2} + 1} + x}} \cr
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x \over {x\sqrt {1 + {1 \over {{x^2}}}} + x}} \cr
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {1 \over {\sqrt {1 + {1 \over {{x^2}}}} + 1}} = {1 \over 2} \cr} \)
f) \(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {{1 \over {{x^2} – 4}} – {1 \over {x – 2}}} \right) \cr
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} {{1 – \left( {x + 2} \right)} \over {{x^2} – 4}} \cr
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} {{ – x – 1} \over {{x^2} – 4}} = – \infty \cr} \)
Bài 10: Xác định một hàm số \(y = f\left( x \right)\) thoả mãn đồng thời các điều kiện sau :
a) f(x) xác định trên R\ {1} ,
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = 2\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } f\left( x \right) = 2\)
Advertisements (Quảng cáo)
Giải :
Chẳng hạn \(f\left( x \right) = {{2{x^2} + 1} \over {{{\left( {x – 1} \right)}^2}}}\). Dễ dàng kiểm tra được rằng f(x) thoả mãn các điều kiện đã nêu.
Bài 11: Xét tính liên tục của hàm số
\(f\left( x \right) = \left\{ \matrix{
{{{x^2} + 5x + 4} \over {{x^3} + 1}},\,\,{\rm{ nếu }}\,\,x \ne – 1 \hfill \cr
1{\rm{ , \,\,nếu }}\,\,x = – 1 \hfill \cr} \right.\) trên tập xácđịnh của nó.
Hàm số liên tục trên R
Bài 12: Xác định một hàm số \(y = f\left( x \right)\) thoả mãn đồng thời các điều kiện sau :
a) \(f\left( x \right)\) xác định trên R
b) \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left( { – \infty ;0} \right)\) và trên \({\rm{[}}0; + \infty )\) nhưng gián đoạn tại x = 0
Giải :
Hướng dẫn :Chẳng hạn xét
\(f\left( x \right) = \left\{ \matrix{
{x^2}{\rm{ ,\,\, nếu }}\,\,x \ge 0 \hfill \cr
x – 1{\rm{ , \,\,nếu }}\,\,x < 0 \hfill \cr} \right.\)
