Bài 1: Tính các giới hạn sau
a) \(\lim {{{{\left( { – 3} \right)}^n} + {{2.5}^n}} \over {1 – {5^n}}}\) ;
b) \(\lim {{1 + 2 + 3 + … + n} \over {{n^2} + n + 1}}\) ;
c) \(\lim \left( {\sqrt {{n^2} + 2n + 1} – \sqrt {{n^2} + n – 1} } \right)\)
a) – 2 ;
b) \({1 \over 2}\) ;
c) \({1 \over 2}\)
Bài 2: Tìm giới hạn của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với
a) \({u_n} = {{{{\left( { – 1} \right)}^n}} \over {{n^2} + 1}}\) ;
b) \({u_n} = {{{2^n} – n} \over {{3^n} + 1}}\)
Advertisements (Quảng cáo)
a) Ta có, \(\left| {{u_n}} \right| = \left| {{{{{\left( { – 1} \right)}^n}} \over {{n^2} + 1}}} \right| = {1 \over {{n^2} + 1}}\). Đặt \({v_n} = {1 \over {{n^2} + 1}}\) (1)
Ta có \(\lim {v_n} = \lim {1 \over {{n^2} + 1}} = \lim {{{1 \over {{n^2}}}} \over {1 + {1 \over {{n^2}}}}} = 0\)
Do đó, \(\left| {{v_n}} \right|\) có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Từ (1) suy ra, \(\left| {{u_n}} \right| = {v_n} = \left| {{v_n}} \right|\)
Vậy, \(\left| {{u_n}} \right|\) cũng có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi, nghĩa là \(\lim {u_n} = 0\)
b) Hướng dẫn : \(\left| {{u_n}} \right| = \left| {{{{2^n} – n} \over {{3^n} + 1}}} \right| < {{{2^n}} \over {{3^n} + 1}}\)
Advertisements (Quảng cáo)
Bài 3: Viết số thập phân vô hạn tuần hoàn2,131131131… (chu kì 131) dưới dạng phân số.
\(\eqalign{
& 2,131131131… = 2 + {{131} \over {1000}} + {{131} \over {{{1000}^2}}} + … + {{131} \over {{{1000}^n}}} + … \cr
& {\rm{ }} = 2 + {{{{131} \over {1000}}} \over {1 – {1 \over {1000}}}} = 2 + {{131} \over {999}} = {{2129} \over {999}}. \cr} \)
(Vì \({{131} \over {1000}},{{131} \over {{{1000}^2}}},…,{{131} \over {{{1000}^n}}},…\) là một cấp số nhân lùi vô hạn với công bội \(q = {1 \over {1000}}\)).
Bài 4: Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi
\(\left\{ \matrix{
{u_1} = 1 \hfill \cr
{u_{n + 1}} = {{2{u_n} + 3} \over {{u_n} + 2}}\,\,{\rm{ với }}\,\,n \ge 1 \hfill \cr} \right.\)
a) Chứng minh rằng \({u_n} > 0\) với mọi n.
b) Biết \(\left( {{u_n}} \right)\) có giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạnđó.
a) Chứng minh bằng quy nạp: \({u_n} > 0\) với mọi n. (1)
– Với n = 1 ta có \({u_1} = 1 > 0\)
– Giả sử (1) đúng với \(n = k \ge 1\) nghĩa là \({u_k} > 0\) ta cần chứng minh (1) đúng với n = k + 1
Ta có \({u_{k + 1}} = {{2{u_k} + 3} \over {{u_k} + 2}}\). Vì \({u_k} > 0\) nên \({u_{k + 1}} = {{2{u_k} + 3} \over {{u_k} + 2}} > 0\)
– Kết luận: \({u_n} > 0\) với mọi n.
b) Đặt
\(\eqalign{
& \lim {u_n} = a \cr
& {u_{n + 1}} = {{2{u_n} + 3} \over {{u_n} + 2}} \cr
& \Rightarrow \lim {u_{n + 1}} = \lim {{2{u_n} + 3} \over {{u_n} + 2}} \cr
& \Rightarrow a = {{2a + 3} \over {a + 2}} \Rightarrow a = \pm \sqrt 3 \cr}\)
Vì \({u_n} > 0\) với mọi n, nên \(\lim {u_n} = a \ge 0\). Từ đó suy ra \(\lim {u_n} = \sqrt 3 \)
