Bài 1.1: Biết rằng dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có giới hạn là 0. Giải thích vì sao dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) với \({v_n} = \left| {{u_n}} \right|\) cũng có giới hạn là 0. Chiều ngược lại có đúngkhông ?
Vì \(\left( {{u_n}} \right)\) có giới hạn là 0 nên \(\left| {{u_n}} \right|\) có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳý, kể từ một số hạng nàođó trởđi.
Mặt khác, \(\left| {{v_n}} \right| = \left| {\left| {{u_n}} \right|} \right| = \left| {{u_n}} \right|\). Do đó, \(\left| {{v_n}} \right|\) cũng có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Vậy, \(\left( {{v_n}} \right)\) có giới hạn là 0.
(Chứng minh tương tự, ta có chiều ngược lại cũng đúng).
Bài 1.2: Vì sao dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = {\left( { – 1} \right)^n}\) không thể có giới hạn là 0 khi \(n \to + \infty \) ?
Advertisements (Quảng cáo)
Vì \(\left| {{u_n}} \right| = \left| {{{\left( { – 1} \right)}^n}} \right| = 1\) nên \(\left| {{u_n}} \right|\) không thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Chẳng hạn, \(\left| {{u_n}} \right|\) không thể nhỏ hơn 0,5 với mọi n.
Do đó, dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) không thể có giới hạn là 0.
Bài 1.3: Cho biết dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có giới hạn hữu hạn, còn dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) không có giới hạn hữu hạn. Dãy số \(\left( {{u_n} + {v_n}} \right)\) có thể có giới hạn hữu hạn không ?
Dãy \(\left( {{u_n} + {v_n}} \right)\) không có giới hạn hữu hạn.
Advertisements (Quảng cáo)
Thật vậy, giả sử ngược lại, \(\left( {{u_n} + {v_n}} \right)\) có giới hạn hữu hạn.
Khi đó, các dãy số \(\left( {{u_n} + {v_n}} \right)\) và \(\left( {{u_n}} \right)\) cùng có giới hạn hữu hạn, nên hiệu của chúngcũng là một dãy có giới hạn hữu hạn, nghĩa là dãy số có số hạng tổng quát là \({u_n} + {v_n} – {u_n} = {v_n}\) có giới hạn hữu hạn. Điều này trái với giả thiết \(\left( {{v_n}} \right)\) không có giới hạn hữu hạn.
Bài 1.4: a) Cho hai dãy số (un) và (vn). Biết \(\lim {u_n} = – \infty \) và \({v_n} \le {u_n}\) với mọi n. Có kết luận gì về giới hạn của dãy (vn) khi \(n \to + \infty \) ?
b) Tìm vn với \({v_n} = – n!\)
Giải :
a) Vì \(\lim {u_n} = – \infty \) nên \(\lim \left( { – {u_n}} \right) = + \infty \). Do đó, \(\left( { – {u_n}} \right)\) có thể lớn hơn một số dương lớn tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. (1)
Mặt khác, vì \({v_n} \le {u_n}\) với mọi n nên \(\left( { – {v_n}} \right) \ge \left( { – {u_n}} \right)\) với mọi n. (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\left( { – {v_n}} \right)\) có thể lớn hơn một số dương lớn tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Do đó, \(\lim \left( { – {v_n}} \right) = + \infty \) hay \(\lim {v_n} = – \infty \)
b) Xét dãy số \(\left( {{u_n}} \right) = – n\)
Ta có – n! < – n hay \({v_n} < {u_n}\) với mọi n. Mặt khác, \(\lim {u_n} = \lim \left( { – n} \right) = – \infty \)
Từ kết quả câu a) suy ra \(\lim {v_n} = \lim \left( { – n!} \right) = – \infty \)
